tangente de y=(5x)/(x+2),(3,3) — solution étape par étape

Vérifions le domaine avant de calculer la tangente :

x \neq -2

Cherchons la tangente en

x = 3

⇥1) Effectuons la dérivation :

\frac{d}{d x} (\frac{5 x}{x + 2})

⇥Pour

p1

5 x

q2

x + 2

, on applique la formule de dérivation :

\frac{d}{d x} (\frac{p1}{q2}) = \frac{\frac{d}{d x} (p1) \cdot q2 - p1 \cdot \frac{d}{d x} (q2)}{{q2}^{2}}

⇥2) Effectuons la dérivation

p1

\frac{d}{d x} (5 x)

⇥ⓘ Un facteur constant se garde devant la dérivée, (k*u)' = k*u' :

\frac{d}{d x} (5 x)

5

⇥

5

⇥3) Dérivons

q2

\frac{d}{d x} (x + 2)

⇥ⓘ La dérivée d'une somme est la somme des dérivées :

\frac{d}{d x} (x + 2)

1 + 0

⇥

1 + 0

⇥ⓘ Additionner 0 ne change rien :

1 + 0

1

⇥

1

⇥4) Évaluons la dérivée obtenue (

\frac{p1}{q2}

)' :

\frac{5 \cdot (x + 2) - 5 x \cdot 1}{{(x + 2)}^{2}}

⇥

\frac{5 \cdot (x + 2) - 5 x}{{(x + 2)}^{2}}

⇥ⓘ On développe en multipliant chaque terme de la parenthèse :

5 \cdot (x + 2)

5 x + 10

⇥

\frac{5 x + 10 - 5 x}{{(x + 2)}^{2}}

⇥ⓘ On regroupe les termes semblables en additionnant leurs coefficients :

5 x - 5 x

0

⇥

\frac{0 + 10}{{(x + 2)}^{2}}

⇥ⓘ Additionner 0 ne change rien :

0 + 10

10

⇥

\frac{10}{{(x + 2)}^{2}}

⇥5) Puis on reprend la dérivation :

⇥ⅰ

\frac{d}{d x} (\frac{5 x}{x + 2})

\frac{10}{{(x + 2)}^{2}}

⇥

\frac{10}{{(x + 2)}^{2}}

Calculons f(

3

)

⇥

\frac{5 \cdot 3}{3 + 2}

⇥ⓘ Le numérateur et le dénominateur se calculent avant la division :

3 + 2

5

⇥ⅰ

5 \cdot 3

15

⇥

\frac{15}{5}

⇥ⓘ On simplifie la fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par

5

, leur plus grand diviseur commun :

\frac{15}{5}

3

⇥

3

Le point de contact est (

3

3

)

Calculons f'(

3

)

⇥

\frac{10}{{(3 + 2)}^{2}}

⇥ⓘ Les parenthèses se calculent en premier :

3 + 2

5

⇥

\frac{10}{5^{2}}

⇥ⓘ Les puissances se calculent avant les multiplications, les additions et les soustractions. Une puissance entière est un produit répété :

5^{2}

5 \cdot 5

25

⇥

\frac{10}{25}

⇥ⓘ On simplifie la fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par

5

, leur plus grand diviseur commun :

\frac{10}{25}

\frac{2 \cdot 5}{5 \cdot 5}

\frac{2}{5}

⇥

\frac{2}{5}

La pente est f'(

3

) =

\frac{2}{5}

La tangente passe par ce point avec cette pente :

y = \frac{2}{5} \cdot (x - 3) + 3

Calculons l'ordonnée à l'origine :

b = 3 - \frac{2}{5} \cdot 3

⇥

3 - \frac{2}{5} \cdot 3

⇥ⓘ Multiplier une fraction par un nombre revient à multiplier son numérateur :

\frac{2}{5} \cdot 3

\frac{2 \cdot 3}{5}

\frac{6}{5}

⇥

3 - \frac{6}{5}

⇥ⓘ Pour additionner des fractions, on les met au même dénominateur puis on additionne les numérateurs :

3 - \frac{6}{5}

\frac{5 \cdot 3 - 6}{5}

⇥

\frac{5 \cdot 3 - 6}{5}

⇥ⓘ Les multiplications se font avant les additions et les soustractions :

5 \cdot 3

15

⇥

\frac{15 - 6}{5}

⇥ⓘ Le numérateur et le dénominateur se calculent avant la division :

15 - 6

9

⇥

\frac{9}{5}

⇥

y = \frac{2}{5} \cdot x + \frac{9}{5}

ⓘ Multiplier une fraction par un terme revient à multiplier son numérateur :

\frac{2}{5} \cdot x

\frac{2 x}{5}

■Pour additionner des fractions, on les met au même dénominateur puis on additionne les numérateurs :

\frac{2 x}{5} + \frac{9}{5}

\frac{2 x + 9}{5}

▶Tangente :

y = \frac{2 x + 9}{5}