tangente de y=x^3+x — solution étape par étape

Aucune abscisse n'est précisée : cherchons la tangente au point général

x = a

, pour

a

réel

Effectuons la dérivation :

\frac{d}{d x} (x^{3} + x)

ⓘ La dérivée d'une somme est la somme des dérivées :

\frac{d}{d x} (x^{3} + x)

\frac{d}{d x} (x^{3}) + 1

\frac{d}{d x} (x^{3}) + 1

ⓘ La dérivée de x^n est n*x^(n-1) :

\frac{d}{d x} (x^{3})

3 x^{2}

3 x^{2} + 1

Calculons f(

a

)

Le point de contact est (

a

a^{3} + a

)

Calculons f'(

a

)

La pente est f'(

a

) =

3 a^{2} + 1

La tangente passe par ce point avec cette pente :

y = (3 a^{2} + 1) \cdot (x - a) + (a^{3} + a)

Calculons l'ordonnée à l'origine :

b = (a^{3} + a) - (3 a^{2} + 1) \cdot a

(a^{3} + a) - (3 a^{2} + 1) \cdot a

a^{3} + a - (3 a^{2} + 1) \cdot a

ⓘ On développe en multipliant chaque terme de la parenthèse :

- (3 a^{2} + 1) \cdot a

- (3 a^{3} + a)

a^{3} + a - (3 a^{3} + a)

ⓘ Un signe moins devant une parenthèse change le signe de chacun de ses termes :

- (3 a^{3} + a)

- 3 a^{3} - a

a^{3}

+ a

- 3 a^{3}

- a

ⓘ On regroupe les termes semblables en additionnant leurs coefficients :

a^{3} - 3 a^{3}

-2 a^{3}

a - a

0

- 2 a^{3} + 0

ⓘ Additionner 0 ne change rien :

- 2 a^{3} + 0

-2 a^{3}

- 2 a^{3}

▶Tangente :

y = (3 a^{2} + 1) \cdot x - 2 a^{3}