La transformée de Laplace de $t^2+2t+3$ par rapport à $t$ est l'intégrale de $\exp (-st)·(t^2+2t+3)$ entre 0 et +∞

Pour s > 0, l'intégrale converge. Par linéarité, on applique à chaque monôme la formule L(t^k) = k!/s^(k+1), pour k entier positif ou nul

La somme des transformées donne : $3·\frac{0!}{s}+2·\frac{1!}{s^2}+\frac{2!}{s^3}$

⇥ⓘ Par convention, la factorielle de 0 vaut 1 : $0!$ = $1$■La factorielle d'un nombre est le produit de tous les entiers de 1 à ce nombre : $1!$ = $1$, $2!$ = $2$

⇥ $3·\frac{1}{s}+2·\frac{1}{s^2}+\frac{2}{s^3}$

ⓘ Multiplier une fraction par un nombre revient à multiplier son numérateur : $3·\frac{1}{s}$ = $\frac{3·1}{s}$ = $\frac{3}{s}$, $2·\frac{1}{s^2}$ = $\frac{2·1}{s^2}$ = $\frac{2}{s^2}$

▶Transformée de Laplace :   $\frac{3}{s}+\frac{2}{s^2}+\frac{2}{s^3}$