transformee de Laplace inverse de e^(-2s)/(s+1)

Le facteur

e^{-2 s}

retarde l'original de

2

: on inverse

\frac{1}{s + 1}

, puis on remplace

t

par

t - 2

On cherche la transformée inverse causale, pour t ≥ 0. Par linéarité, on inverse chaque fraction simple

La formule de Laplace inverse de

\frac{1}{{(s - a)}^{n}}

est

t^{n - 1} \cdot \frac{\exp (a t)}{(n - 1)!}

; elle donne pour

\frac{1}{s + 1}

\frac{\exp (-1 \cdot t)}{0!}

⇥ⓘ Multiplier par -1 donne l'opposé :

-1 \cdot t

- t

■Par convention, la factorielle de 0 vaut 1 :

0!

1

⇥

\frac{\exp (- t)}{1}

⇥ⓘ On passe le facteur au numérateur ou au dénominateur en changeant le signe de son exposant, pour une base non nulle :

\exp (- t)

\frac{1}{\exp (t)}

⇥

\frac{1}{\exp (t)}

Retardé de

2

, l'original est nul pour

t < 2

: on remplace

t

par

t - 2

et on multiplie par l'échelon unité

u (t - 2)

, qui vaut 0 pour

t < 2

et 1 pour

t \geq 2

▶Transformée de Laplace inverse :

\frac{u (t - 2)}{\exp (t - 2)}