transformee de Laplace inverse de f(s)= 1/(s(s-3))

⇥1) On peut effectuer une décomposition en fractions partielles :

⇥

\frac{1}{s \cdot (s - 3)} = \frac{A}{s} + \frac{B}{s - 3}

⇥Pour le facteur simple :

s

et sa racine :

0

, on calcule A en multipliant par le dénominateur :

s \cdot (s - 3)

puis en évaluant à la racine (les autres termes s'annulent) :

⇥2) Résolvons dans

ℝ

(0 - 3) \cdot A = 1

⇥

- 3 A = 1

⇥

A = \frac{1}{-3}

⇥Solution trouvée :

A = - \frac{1}{3}

⇥Pour le facteur simple :

s - 3

et sa racine :

3

, on calcule B en multipliant par le dénominateur :

s \cdot (s - 3)

puis en évaluant à la racine (les autres termes s'annulent) :

⇥3) Résolvons dans

ℝ

3 B = 1

⇥Solution trouvée :

B = \frac{1}{3}

⇥4) Pour finir, on remplace les inconnues dans la décomposition rationnelle initiale :

⇥

- \frac{\frac{1}{3}}{s} + \frac{\frac{1}{3}}{s - 3}

⇥

- \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{s} + \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{s - 3}

⇥ℹ

- \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{s}

- \frac{1}{3 s}

‖

\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{s - 3}

\frac{1}{3 \cdot (s - 3)}

⇥

- \frac{1}{3 s} + \frac{1}{3 \cdot (s - 3)}

On cherche la transformée inverse causale, pour t ≥ 0. Par linéarité, on inverse chaque fraction simple

La formule L⁻¹(1/(s-a)^n) = t^(n-1)e^(at)/(n-1)! donne pour

\frac{1}{3 \cdot (s - 3)}

\frac{\exp (3 t)}{3 \cdot 0!}

La formule L⁻¹(1/(s-a)^n) = t^(n-1)e^(at)/(n-1)! donne pour

- \frac{1}{3 s}

\frac{-1 \cdot \exp (0 \cdot t)}{3 \cdot 0!}

⇥

\frac{\exp (3 t)}{3 \cdot 0!} + \frac{-1 \cdot \exp (0 \cdot t)}{3 \cdot 0!}

⇥ℹ

3 \cdot 1

3

‖

0 \cdot t

0

‖

\exp (0)

1

▶Transformée de Laplace inverse :

\frac{\exp (3 t)}{3} - \frac{1}{3}