transformee de Laplace inverse de (e^{-s})/(s^2+3s+2)

⚠ (e^{-s})/(s^2+3s+2) est lu comme (e^(-s))/(s^2+3s+2) : utilisez ^(...) pour grouper un exposant, utilisez * pour multiplier

Le facteur

e^{- s}

retarde l'original de

1

: on inverse

\frac{1}{s^{2} + 3 s + 2}

, puis on remplace

t

par

t - 1

⇥1) Factorisons dans

ℝ

s^{2} + 3 s + 2

⇥Étant donné la forme quadratique

a s^{2} + b s + c

, calculons le discriminant :

Δ = b^{2} - 4 a c

. Ici

a = 1

b = 3

c = 2

⇥

Δ = 3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 2

⇥ⓘ Les puissances se calculent avant les multiplications, les additions et les soustractions. Une puissance entière est un produit répété :

3^{2}

3 \cdot 3

9

⇥

Δ = 9 - 4 \cdot 2

⇥ⓘ Les multiplications se font avant les additions et les soustractions :

4 \cdot 2

8

⇥

Δ = 9 - 8

⇥ⓘ On part de

9

et on recule de

8

sur la droite des nombres :

9 - 8

1

⇥

Δ = 1

⇥Comme

Δ > 0

, l'équation a deux racines :

⇥La formule du second degré donne

s_{1}

\frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- 3 - \sqrt{1}}{2 \cdot 1}

⇥

s_{1} = \frac{- 3 - 1}{2}

⇥ⓘ Le numérateur et le dénominateur se calculent avant la division :

- 3 - 1

-4

⇥

s_{1} = - \frac{4}{2}

⇥ⓘ On simplifie la fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par

2

, leur plus grand diviseur commun :

- \frac{4}{2}

-2

⇥

s_{1} = -2

⇥La formule du second degré donne

s_{2}

\frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- 3 + \sqrt{1}}{2 \cdot 1}

⇥

s_{2} = \frac{- 3 + 1}{2}

⇥ⓘ Le numérateur et le dénominateur se calculent avant la division :

- 3 + 1

-2

⇥

s_{2} = - \frac{2}{2}

⇥ⓘ On simplifie la fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par

2

, leur plus grand diviseur commun :

- \frac{2}{2}

-1

⇥

s_{2} = -1

⇥Facteurs trouvés :

(s + 1) \cdot (s + 2)

⇥2) On peut effectuer une décomposition en fractions partielles :

⇥

\frac{1}{(s + 1) \cdot (s + 2)} = \frac{A}{s + 1} + \frac{B}{s + 2}

⇥Pour le facteur simple :

s + 1

et sa racine :

-1

, on peut facilement calculer l'inconnue A en multipliant par le dénominateur :

s^{2} + 3 s + 2

et en évaluant à la racine car les autres termes s'annulent :

⇥3) Résolvons dans

ℝ

(- 1 + 2) \cdot A = 1

⇥ⓘ Les parenthèses se calculent en premier :

- 1 + 2

1

■Multiplier par 1 ne change rien :

1 \cdot A

A

⇥Solution obtenue :

A = 1

⇥Pour le facteur simple :

s + 2

et sa racine :

-2

, on peut facilement calculer l'inconnue B en multipliant par le dénominateur :

s^{2} + 3 s + 2

et en évaluant à la racine car les autres termes s'annulent :

⇥4) Résolvons dans

ℝ

(- 2 + 1) \cdot B = 1

⇥ⓘ Les parenthèses se calculent en premier :

- 2 + 1

-1

■Multiplier par -1 donne l'opposé :

-1 \cdot B

- B

⇥

- B = 1

⇥ⓘ On change le signe des deux membres

⇥Solution obtenue :

B = -1

⇥5) Finalement, on substitue les valeurs des inconnues dans la décomposition rationnelle initiale :

⇥

\frac{1}{(s + 1) \cdot (s + 2)} = \frac{1}{s + 1} - \frac{1}{s + 2}

On cherche la transformée inverse causale, pour t ≥ 0. Par linéarité, on inverse chaque fraction simple

La formule de Laplace inverse de

\frac{1}{{(s - a)}^{n}}

est

t^{n - 1} \cdot \frac{\exp (a t)}{(n - 1)!}

; elle donne pour

\frac{1}{s + 1}

\frac{\exp (-1 \cdot t)}{0!}

La formule de Laplace inverse de

\frac{1}{{(s - a)}^{n}}

est

t^{n - 1} \cdot \frac{\exp (a t)}{(n - 1)!}

; elle donne pour

- \frac{1}{s + 2}

\frac{-1 \cdot \exp (-2 t)}{0!}

⇥

\frac{\exp (-1 \cdot t)}{0!} + \frac{-1 \cdot \exp (-2 t)}{0!}

⇥ⓘ Multiplier par -1 donne l'opposé :

-1 \cdot t

- t

-1 \cdot \exp (-2 t)

- \exp (-2 t)

■Par convention, la factorielle de 0 vaut 1 :

0!

1

⇥

\frac{\exp (- t)}{1} - \frac{\exp (-2 t)}{1}

⇥ⓘ Un exposant négatif fait passer la puissance de l'autre côté de la barre de fraction, pour une base non nulle :

\exp (- t)

\frac{1}{\exp (t)}

⇥

\frac{1}{\exp (t)} - \exp (- 2 t)

⇥ⓘ Un exposant négatif fait passer la puissance de l'autre côté de la barre de fraction, pour une base non nulle :

\exp (- 2 t)

\frac{1}{\exp (2 t)}

⇥

\frac{1}{\exp (t)} - \frac{1}{\exp (2 t)}

Retardé de

1

, l'original est nul pour

t < 1

; pour

t \geq 1

, on remplace

t

par

t - 1

▶Transformée de Laplace inverse, pour

t \geq 1

\frac{1}{\exp (t - 1)} - \frac{1}{\exp (2 \cdot (t - 1))}