transformee de Laplace inverse de ((2s+1))/((s+1)^2)

⚠Ⓘ 2s est lu comme le produit 2*s : pour une puissance, écrivez 2^s

⇥1) On peut décomposer en fractions partielles :

⇥

\frac{2 s + 1}{{(s + 1)}^{2}} = \frac{A}{s + 1} + \frac{B}{{(s + 1)}^{2}}

⇥Pour trouver les inconnues restantes, on multiplie de part et d'autre par le dénominateur :

{(s + 1)}^{2}

, ce qui donne :

⇥

2 s + 1 = A \cdot (s + 1) + B

⇥

2 s + 1 = (A s + A) + B

⇥

2 s + 1 = A s + A + B

⇥2) En identifiant les différents termes, nous obtenons le système d'équations :

⇥ [1] :

2 = A

⇥ [2] :

1 = A + B

⇥Solution trouvée [1] :

A = 2

⇥3) Résolvons en B :

1 = A + B

[2] en utilisant

A = 2

⇥

2 + B = 1

⇥

B = 1 - 2

⇥Solution obtenue [2] :

B = -1

⇥4) Finalement, on substitue les valeurs des inconnues dans la décomposition rationnelle initiale :

On cherche la transformée inverse causale, pour t ≥ 0. Par linéarité, on inverse chaque fraction simple

La formule L⁻¹(1/(s-a)^n) = t^(n-1)e^(at)/(n-1)! donne pour

\frac{2}{s + 1}

\frac{2 \exp (-1 \cdot t)}{0!}

La formule L⁻¹(1/(s-a)^n) = t^(n-1)e^(at)/(n-1)! donne pour

- \frac{1}{{(s + 1)}^{2}}

\frac{-1 \cdot t \exp (-1 \cdot t)}{1!}

⇥

\frac{2 \exp (-1 \cdot t)}{0!} + \frac{-1 \cdot t \exp (-1 \cdot t)}{1!}

⇥ℹ

-1 \cdot t

- t

‖

-1 \cdot t \exp (- t)

- t \exp (- t)

⇥

\frac{2 \exp (- t)}{1} - \frac{t \exp (- t)}{1}

⇥ℹ

2 \exp (- t)

\frac{2}{\exp (t)}

‖

- t \exp (- t)

- \frac{t}{\exp (t)}

⇥

\frac{2}{\exp (t)} - \frac{t}{\exp (t)}

▶Transformée de Laplace inverse :

\frac{2 - t}{\exp (t)}