transformee inverse de Laplace de 1/((2s+1)s)

⚠ 1/((2s+1)s) est lu comme 1/((2s+1)*s) : utilisez * pour ce produit, utilisez ^ pour une puissance

⇥1) On peut décomposer en fractions partielles :

⇥

\frac{1}{s \cdot (2 s + 1)} = \frac{A}{s} + \frac{B}{2 s + 1}

⇥Pour le facteur simple :

s

et sa racine :

0

, on calcule A en multipliant par le dénominateur :

(2 s + 1) \cdot s

puis en évaluant à la racine, car les autres termes s'annulent :

⇥2) Effectuons la résolution dans

ℝ

(2 \cdot 0 + 1) \cdot A = 1

⇥ⓘ Un produit dont un facteur est nul est nul :

2 \cdot 0

0

⇥

(0 + 1) \cdot A = 1

⇥ⓘ Ajouter 0 conserve la valeur initiale :

0 + 1

1

⇥Solution obtenue :

A = 1

⇥Pour le facteur simple :

2 s + 1

et sa racine :

- \frac{1}{2}

, on peut facilement calculer l'inconnue B en multipliant par le dénominateur :

(2 s + 1) \cdot s

et en évaluant à la racine car les autres termes s'annulent :

⇥3) Résolvons dans

ℝ

- \frac{1}{2} \cdot B = 1

⇥ⓘ Multiplier une fraction par un terme revient à multiplier son numérateur :

- \frac{1}{2} \cdot B

- \frac{1 \cdot B}{2}

- \frac{B}{2}

⇥

- \frac{B}{2} = 1

⇥

- B = 2

⇥ⓘ On change le signe des deux membres

⇥Solution trouvée :

B = -2

⇥4) Finalement, on substitue les valeurs des inconnues dans la décomposition rationnelle initiale :

⇥

\frac{1}{s \cdot (2 s + 1)} = \frac{1}{s} - \frac{2}{2 s + 1}

Cherchons la transformée inverse causale, pour t ≥ 0. Par linéarité, on inverse chaque fraction simple

La formule de Laplace inverse de

\frac{1}{{(s - a)}^{n}}

est

t^{n - 1} \cdot \frac{\exp (a t)}{(n - 1)!}

, donc pour

\frac{1}{s}

\frac{\exp (0 \cdot t)}{0!}

Avant d'appliquer la formule, on normalise le pôle :

- \frac{2}{2 s + 1} = - \frac{1}{s + \frac{1}{2}}

La formule de Laplace inverse de

\frac{1}{{(s - a)}^{n}}

est

t^{n - 1} \cdot \frac{\exp (a t)}{(n - 1)!}

, par conséquent pour

- \frac{1}{s + \frac{1}{2}}

\frac{-1 \cdot \exp (- \frac{1}{2} \cdot t)}{0!}

⇥

\frac{\exp (0 \cdot t)}{0!} + \frac{-1 \cdot \exp (- \frac{1}{2} \cdot t)}{0!}

⇥ⓘ Si un facteur est nul, le produit est nul :

0 \cdot t

0

■Élever un nombre non nul à la puissance 0 donne 1 :

\exp (0)

1

■Par convention, la factorielle de 0 vaut 1 :

0!

1

■Un produit par -1 donne la valeur opposée :

-1 \cdot \exp (- \frac{1}{2} \cdot t)

- \exp (- \frac{1}{2} \cdot t)

⇥

\frac{1}{1} - \frac{\exp (- \frac{1}{2} \cdot t)}{1}

ⓘ Multiplier une fraction par un terme revient à multiplier son numérateur :

- \frac{1}{2} \cdot t

- \frac{1 \cdot t}{2}

- \frac{t}{2}

■On passe le facteur au numérateur ou au dénominateur en changeant le signe de son exposant, pour une base non nulle :

\exp (- \frac{t}{2})

\frac{1}{\exp (\frac{t}{2})}

▶Transformée de Laplace inverse :

1 - \frac{1}{\exp (\frac{t}{2})}