transformee inverse de Laplace de 1/(s^2-s)

⇥1) On peut effectuer une décomposition en fractions partielles :

⇥

\frac{1}{s \cdot (s - 1)} = \frac{A}{s} + \frac{B}{s - 1}

⇥Pour le facteur simple :

s

et sa racine :

0

, on calcule A en multipliant par le dénominateur :

s \cdot (s - 1)

puis en évaluant à la racine (les autres termes s'annulent) :

⇥2) Résolvons dans

ℝ

(0 - 1) \cdot A = 1

⇥ⓘ Additionner 0 ne change rien :

0 - 1

-1

■Multiplier par -1 donne l'opposé :

-1 \cdot A

- A

⇥

- A = 1

⇥ⓘ On change le signe des deux membres

⇥Solution obtenue :

A = -1

⇥Pour le facteur simple :

s - 1

et sa racine :

1

, on calcule B en multipliant par le dénominateur :

s \cdot (s - 1)

puis en évaluant à la racine (les autres termes s'annulent) :

⇥3) Résolvons dans

ℝ

1 \cdot B = 1

⇥Solution obtenue :

B = 1

⇥4) Pour finir, on remplace les inconnues dans la décomposition rationnelle initiale :

⇥

\frac{1}{s \cdot (s - 1)} = - \frac{1}{s} + \frac{1}{s - 1}

On cherche la transformée inverse causale, pour t ≥ 0. Par linéarité, on inverse chaque fraction simple

La formule de Laplace inverse de

\frac{1}{{(s - a)}^{n}}

est

t^{n - 1} \cdot \frac{\exp (a t)}{(n - 1)!}

; elle donne pour

\frac{1}{s - 1}

\frac{\exp (t)}{0!}

La formule de Laplace inverse de

\frac{1}{{(s - a)}^{n}}

est

t^{n - 1} \cdot \frac{\exp (a t)}{(n - 1)!}

; elle donne pour

- \frac{1}{s}

\frac{-1 \cdot \exp (0 \cdot t)}{0!}

⇥

\frac{\exp (t)}{0!} + \frac{-1 \cdot \exp (0 \cdot t)}{0!}

⇥ⓘ Par convention, la factorielle de 0 vaut 1 :

0!

1

■Un produit dont un facteur est nul est nul :

0 \cdot t

0

■Tout nombre non nul élevé à la puissance 0 vaut 1 :

\exp (0)

1

⇥

\frac{\exp (t)}{1} - \frac{1}{1}

▶Transformée de Laplace inverse :

\exp (t) - 1