transformee inverse de Laplace de (2s+1)/(s^2+s)

⇥1) On peut effectuer une décomposition en fractions partielles :

⇥

\frac{2 s + 1}{s \cdot (s + 1)} = \frac{A}{s} + \frac{B}{s + 1}

⇥Pour le facteur simple :

s

et sa racine :

0

, on peut facilement calculer l'inconnue A en multipliant par le dénominateur :

s \cdot (s + 1)

et en évaluant à la racine car les autres termes s'annulent :

⇥2) Résolvons dans

ℝ

(0 + 1) \cdot A = 2 \cdot 0 + 1

⇥ⓘ Additionner 0 ne change rien :

0 + 1

1

■Un produit dont un facteur est nul est nul :

2 \cdot 0

0

⇥

A = 0 + 1

⇥ⓘ Additionner 0 ne change rien :

0 + 1

1

⇥Solution trouvée :

A = 1

⇥Pour le facteur simple :

s + 1

et sa racine :

-1

, on peut facilement calculer l'inconnue B en multipliant par le dénominateur :

s \cdot (s + 1)

et en évaluant à la racine car les autres termes s'annulent :

⇥3) Résolvons dans

ℝ

-1 \cdot B = 2 \cdot (-1) + 1

⇥ⓘ Multiplier par -1 donne l'opposé :

-1 \cdot B

- B

■Les multiplications se font avant les additions et les soustractions. Un seul signe moins ne s'annule pas, le produit d'un nombre négatif par un nombre positif est négatif :

2 \cdot (-1)

-2

⇥

- B = - 2 + 1

⇥ⓘ On part de

-2

et on avance de

1

sur la droite des nombres, en se rapprochant de zéro :

- 2 + 1

-1

⇥

- B = -1

⇥Solution trouvée :

B = 1

⇥4) Finalement, on substitue les valeurs des inconnues dans la décomposition rationnelle initiale :

⇥

\frac{2 s + 1}{s \cdot (s + 1)} = \frac{1}{s} + \frac{1}{s + 1}

On cherche la transformée inverse causale, pour t ≥ 0. Par linéarité, on inverse chaque fraction simple

La formule de Laplace inverse de

\frac{1}{{(s - a)}^{n}}

est

t^{n - 1} \cdot \frac{\exp (a t)}{(n - 1)!}

; elle donne pour

\frac{1}{s}

\frac{\exp (0 \cdot t)}{0!}

La formule de Laplace inverse de

\frac{1}{{(s - a)}^{n}}

est

t^{n - 1} \cdot \frac{\exp (a t)}{(n - 1)!}

; elle donne pour

\frac{1}{s + 1}

\frac{\exp (-1 \cdot t)}{0!}

⇥

\frac{\exp (0 \cdot t)}{0!} + \frac{\exp (-1 \cdot t)}{0!}

⇥ⓘ Un produit dont un facteur est nul est nul :

0 \cdot t

0

■Tout nombre non nul élevé à la puissance 0 vaut 1 :

\exp (0)

1

■Par convention, la factorielle de 0 vaut 1 :

0!

1

■Multiplier par -1 donne l'opposé :

-1 \cdot t

- t

⇥

\frac{1}{1} + \frac{\exp (- t)}{1}

⇥ⓘ On passe le facteur au numérateur ou au dénominateur en changeant le signe de son exposant, pour une base non nulle :

\exp (- t)

\frac{1}{\exp (t)}

⇥

1 + \frac{1}{\exp (t)}

▶Transformée de Laplace inverse :

\frac{1}{\exp (t)} + 1