transformee inverse de Laplace de (2s+1)/(s^3)

⇥1) On peut décomposer en fractions partielles :

⇥

\frac{2 s + 1}{s^{3}} = \frac{A}{s} + \frac{B}{s^{2}} + \frac{C}{s^{3}}

⇥Pour trouver les inconnues restantes, on multiplie de part et d'autre par le dénominateur :

s^{3}

, ce qui donne :

⇥

2 s + 1 = A s^{2} + B s + C

⇥2) En identifiant les différents termes, nous obtenons le système d'équations :

⇥ [1] :

0 = A

⇥ [2] :

2 = B

⇥ [3] :

1 = C

⇥Solution trouvée [1] :

A = 0

⇥3) Résolvons en B :

2 = B

[2]

⇥Solution trouvée [2] :

B = 2

⇥4) Cherchons C dans :

1 = C

[3]

⇥Solution trouvée [3] :

C = 1

⇥5) Pour finir, on remplace les inconnues dans la décomposition rationnelle initiale :

⇥

\frac{2 s + 1}{s^{3}} = \frac{2}{s^{2}} + \frac{1}{s^{3}}

On cherche la transformée inverse causale, pour t ≥ 0. Par linéarité, on inverse chaque fraction simple

La formule de Laplace inverse de

\frac{1}{{(s - a)}^{n}}

est

t^{n - 1} \cdot \frac{\exp (a t)}{(n - 1)!}

; elle donne pour

\frac{2}{s^{2}}

\frac{2 t \exp (0 \cdot t)}{1!}

La formule de Laplace inverse de

\frac{1}{{(s - a)}^{n}}

est

t^{n - 1} \cdot \frac{\exp (a t)}{(n - 1)!}

; elle donne pour

\frac{1}{s^{3}}

\frac{t^{2} \exp (0 \cdot t)}{2!}

⇥

\frac{2 t \exp (0 \cdot t)}{1!} + \frac{t^{2} \exp (0 \cdot t)}{2!}

⇥ⓘ Un produit dont un facteur est nul est nul :

0 \cdot t

0

■Tout nombre non nul élevé à la puissance 0 vaut 1 :

\exp (0)

1

■La factorielle d'un nombre est le produit de tous les entiers de 1 à ce nombre :

1!

1

2!

2

⇥

\frac{2 t}{1} + \frac{t^{2}}{2}

⇥

2 t + \frac{t^{2}}{2}

▶Transformée de Laplace inverse :

\frac{t^{2}}{2} + 2 t