transformee inverse de Laplace de (-5)/(s(s^2-5s+4))

⇥1) Mettons en facteurs dans

ℝ

s \cdot (s^{2} - 5 s + 4)

⇥Factorisons dans

ℝ

(s^{2} - 5 s + 4)

⇥Vu la forme quadratique

a s^{2} + b s + c

, on calcule le discriminant :

Δ = b^{2} - 4 a c

. Ici

a = 1

b = -5

c = 4

⇥

Δ = {(-5)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4

⇥ⓘ Les puissances se calculent avant les multiplications, les additions et les soustractions. Une puissance entière est un produit répété :

{(-5)}^{2}

(-5) \cdot (-5)

25

⇥

Δ = 25 - 4 \cdot 4

⇥ⓘ Les multiplications se font avant les additions et les soustractions :

4 \cdot 4

16

⇥

Δ = 25 - 16

⇥ⓘ On part de

25

et on recule de

16

sur la droite des nombres :

25 - 16

9

⇥

Δ = 9

⇥Puisque

Δ > 0

, l'équation admet deux racines :

⇥La formule du second degré donne

s_{1}

\frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- (-5) - \sqrt{9}}{2 \cdot 1}

⇥

s_{1} = \frac{5 - \sqrt{9}}{2}

⇥ⓘ La racine carrée d'un nombre est le nombre positif dont le carré vaut ce nombre :

\sqrt{9}

3

;

3^{2}

9

⇥

s_{1} = \frac{5 - 3}{2}

⇥ⓘ Le numérateur et le dénominateur se calculent avant la division :

5 - 3

2

⇥

s_{1} = \frac{2}{2}

⇥ⓘ On simplifie la fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par

2

, leur plus grand diviseur commun :

\frac{2}{2}

1

⇥

s_{1} = 1

⇥La formule du second degré donne

s_{2}

\frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- (-5) + \sqrt{9}}{2 \cdot 1}

⇥

s_{2} = \frac{5 + \sqrt{9}}{2}

⇥ⓘ La racine carrée d'un nombre est le nombre positif dont le carré vaut ce nombre :

\sqrt{9}

3

;

3^{2}

9

⇥

s_{2} = \frac{5 + 3}{2}

⇥ⓘ Le numérateur et le dénominateur se calculent avant la division :

5 + 3

8

⇥

s_{2} = \frac{8}{2}

⇥ⓘ On simplifie la fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par

2

, leur plus grand diviseur commun :

\frac{8}{2}

4

⇥

s_{2} = 4

⇥Facteurs trouvés :

(s - 1) \cdot (s - 4)

⇥2) On peut effectuer une décomposition en fractions partielles :

⇥

- \frac{5}{s \cdot (s - 1) \cdot (s - 4)} = \frac{A}{s} + \frac{B}{s - 1} + \frac{C}{s - 4}

⇥Pour le facteur simple :

s

et sa racine :

0

, on calcule A en multipliant par le dénominateur :

s \cdot (s^{2} - 5 s + 4)

puis en évaluant à la racine (les autres termes s'annulent) :

⇥3) Résolvons dans

ℝ

(0 - 1) \cdot (0 - 4) \cdot A = -5

⇥ⓘ Additionner 0 ne change rien :

0 - 1

-1

0 - 4

-4

■Deux signes moins s'annulent, le produit de deux nombres négatifs est positif :

-1 \cdot (-4)

4

⇥

4 A = -5

⇥ⓘ On divise les deux membres par

4

⇥Solution obtenue :

A = - \frac{5}{4}

⇥Pour le facteur simple :

s - 1

et sa racine :

1

, on peut facilement calculer l'inconnue B en multipliant par le dénominateur :

s \cdot (s^{2} - 5 s + 4)

et en évaluant à la racine car les autres termes s'annulent :

⇥4) Résolvons dans

ℝ

1 \cdot (1 - 4) \cdot B = -5

⇥

(1 - 4) \cdot B = -5

⇥ⓘ Les parenthèses se calculent en premier :

1 - 4

-3

⇥

- 3 B = -5

⇥

3 B = 5

⇥ⓘ On divise les deux membres par

3

⇥Solution trouvée :

B = \frac{5}{3}

⇥Pour le facteur simple :

s - 4

et sa racine :

4

, on calcule C en multipliant par le dénominateur :

s \cdot (s^{2} - 5 s + 4)

puis en évaluant à la racine (les autres termes s'annulent) :

⇥5) Résolvons dans

ℝ

4 \cdot (4 - 1) \cdot C = -5

⇥ⓘ Les parenthèses se calculent en premier :

4 - 1

3

⇥

4 \cdot 3 C = -5

⇥ⅰ

4 \cdot 3

12

⇥

12 C = -5

⇥ⓘ On divise les deux membres par

12

⇥Solution obtenue :

C = - \frac{5}{12}

⇥6) Finalement, on substitue les valeurs des inconnues dans la décomposition rationnelle initiale :

⇥

- \frac{5}{s \cdot (s - 1) \cdot (s - 4)} = - \frac{5}{4 s} + \frac{5}{3 \cdot (s - 1)} - \frac{5}{12 \cdot (s - 4)}

On cherche la transformée inverse causale, pour t ≥ 0. Par linéarité, on inverse chaque fraction simple

Avant d'appliquer la formule, on normalise le pôle :

- \frac{5}{4 s} = - \frac{\frac{5}{4}}{s}

La formule de Laplace inverse de

\frac{1}{{(s - a)}^{n}}

est

t^{n - 1} \cdot \frac{\exp (a t)}{(n - 1)!}

; elle donne pour

- \frac{\frac{5}{4}}{s}

\frac{- \frac{5}{4} \cdot \exp (0 \cdot t)}{0!}

Avant d'appliquer la formule, on normalise le pôle :

\frac{5}{3 \cdot (s - 1)} = \frac{\frac{5}{3}}{s - 1}

La formule de Laplace inverse de

\frac{1}{{(s - a)}^{n}}

est

t^{n - 1} \cdot \frac{\exp (a t)}{(n - 1)!}

; elle donne pour

\frac{\frac{5}{3}}{s - 1}

\frac{\frac{5}{3} \cdot \exp (t)}{0!}

Avant d'appliquer la formule, on normalise le pôle :

- \frac{5}{12 \cdot (s - 4)} = - \frac{\frac{5}{12}}{s - 4}

La formule de Laplace inverse de

\frac{1}{{(s - a)}^{n}}

est

t^{n - 1} \cdot \frac{\exp (a t)}{(n - 1)!}

; elle donne pour

- \frac{\frac{5}{12}}{s - 4}

\frac{- \frac{5}{12} \cdot \exp (4 t)}{0!}

⇥

\frac{- \frac{5}{4} \cdot \exp (0 \cdot t)}{0!} + \frac{\frac{5}{3} \cdot \exp (t)}{0!} + \frac{- \frac{5}{12} \cdot \exp (4 t)}{0!}

⇥ⓘ Un produit dont un facteur est nul est nul :

0 \cdot t

0

■Tout nombre non nul élevé à la puissance 0 vaut 1 :

\exp (0)

1

■Multiplier une fraction par un terme revient à multiplier son numérateur :

\frac{5}{3} \cdot \exp (t)

\frac{5 \exp (t)}{3}

- \frac{5}{12} \cdot \exp (4 t)

- \frac{5 \exp (4 t)}{12}

■Par convention, la factorielle de 0 vaut 1 :

0!

1

⇥

- \frac{\frac{5}{4}}{0!} + \frac{\frac{5 \exp (t)}{3}}{1} - \frac{\frac{5 \exp (4 t)}{12}}{1}

⇥ⓘ Par convention, la factorielle de 0 vaut 1 :

0!

1

⇥

- \frac{\frac{5}{4}}{1} + \frac{5 \exp (t)}{3} - \frac{5 \exp (4 t)}{12}

⇥ⓘ Pour additionner des fractions, on les met au même dénominateur puis on additionne les numérateurs :

- \frac{5}{4} - \frac{5 \exp (4 t)}{12}

\frac{3 \cdot (-5) - 5 \exp (4 t)}{12}

⇥

\frac{3 \cdot (-5) - 5 \exp (4 t)}{12} + \frac{5 \exp (t)}{3}

⇥ⓘ Les multiplications se font avant les additions et les soustractions. Un seul signe moins ne s'annule pas, le produit d'un nombre négatif par un nombre positif est négatif :

3 \cdot (-5)

-15

■On met le signe moins en facteur, en changeant le signe de chaque terme :

- 15 - 5 \exp (4 t)

- (15 + 5 \exp (4 t))

⇥

- \frac{15 + 5 \exp (4 t)}{12} + \frac{5 \exp (t)}{3}

▶Transformée de Laplace inverse :

\frac{5 \exp (t)}{3} - \frac{5 \exp (4 t) + 15}{12}