transformee inverse de Laplace de (s-10)/(s^2-2s-3)

⇥1) Factorisons dans

ℝ

s^{2} - 2 s - 3

⇥Étant donné la forme quadratique

a s^{2} + b s + c

, calculons le discriminant :

Δ = b^{2} - 4 a c

. Ici

a = 1

b = -2

c = -3

⇥

Δ = {(-2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (-3)

⇥ⓘ Les puissances se calculent avant les multiplications, les additions et les soustractions. Une puissance entière est un produit répété :

{(-2)}^{2}

(-2) \cdot (-2)

4

⇥

Δ = 4 - 4 \cdot (-3)

⇥ⓘ Les multiplications se font avant les additions et les soustractions. Deux signes moins s'annulent, le produit de deux nombres négatifs est positif :

- 4 \cdot (-3)

12

⇥

Δ = 4 + 12

⇥ⓘ On part de

4

et on avance de

12

sur la droite des nombres :

4 + 12

16

⇥

Δ = 16

⇥Comme

Δ > 0

, l'équation a deux racines :

⇥La formule du second degré donne

s_{1}

\frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- (-2) - \sqrt{16}}{2 \cdot 1}

⇥

s_{1} = \frac{2 - \sqrt{16}}{2}

⇥ⓘ La racine carrée d'un nombre est le nombre positif dont le carré vaut ce nombre :

\sqrt{16}

4

;

4^{2}

16

⇥

s_{1} = \frac{2 - 4}{2}

⇥ⓘ Le numérateur et le dénominateur se calculent avant la division :

2 - 4

-2

⇥

s_{1} = - \frac{2}{2}

⇥ⓘ On simplifie la fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par

2

, leur plus grand diviseur commun :

- \frac{2}{2}

-1

⇥

s_{1} = -1

⇥La formule du second degré donne

s_{2}

\frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- (-2) + \sqrt{16}}{2 \cdot 1}

⇥

s_{2} = \frac{2 + \sqrt{16}}{2}

⇥ⓘ La racine carrée d'un nombre est le nombre positif dont le carré vaut ce nombre :

\sqrt{16}

4

;

4^{2}

16

⇥

s_{2} = \frac{2 + 4}{2}

⇥ⓘ Le numérateur et le dénominateur se calculent avant la division :

2 + 4

6

⇥

s_{2} = \frac{6}{2}

⇥ⓘ On simplifie la fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par

2

, leur plus grand diviseur commun :

\frac{6}{2}

3

⇥

s_{2} = 3

⇥Facteurs trouvés :

(s + 1) \cdot (s - 3)

⇥2) On peut décomposer en fractions partielles :

⇥

\frac{s - 10}{(s + 1) \cdot (s - 3)} = \frac{A}{s + 1} + \frac{B}{s - 3}

⇥Pour le facteur simple :

s + 1

et sa racine :

-1

, on peut facilement calculer l'inconnue A en multipliant par le dénominateur :

s^{2} - 2 s - 3

et en évaluant à la racine car les autres termes s'annulent :

⇥3) Résolvons dans

ℝ

(- 1 - 3) \cdot A = - 1 - 10

⇥ⓘ Les parenthèses se calculent en premier :

- 1 - 3

-4

■On part de

-1

et on recule encore de

10

sur la droite des nombres, en s'éloignant de zéro :

- 1 - 10

-11

⇥

- 4 A = -11

⇥

4 A = 11

⇥ⓘ On divise les deux membres par

4

⇥Solution trouvée :

A = \frac{11}{4}

⇥Pour le facteur simple :

s - 3

et sa racine :

3

, on peut facilement calculer l'inconnue B en multipliant par le dénominateur :

s^{2} - 2 s - 3

et en évaluant à la racine car les autres termes s'annulent :

⇥4) Résolvons dans

ℝ

(3 + 1) \cdot B = 3 - 10

⇥ⓘ Les parenthèses se calculent en premier :

3 + 1

4

■On part de

3

et on recule de

10

sur la droite des nombres, en passant sous zéro :

3 - 10

-7

⇥

4 B = -7

⇥ⓘ On divise les deux membres par

4

⇥Solution obtenue :

B = - \frac{7}{4}

⇥5) Finalement, on substitue les valeurs des inconnues dans la décomposition rationnelle initiale :

⇥

\frac{s - 10}{(s + 1) \cdot (s - 3)} = \frac{11}{4 \cdot (s + 1)} - \frac{7}{4 \cdot (s - 3)}

On cherche la transformée inverse causale, pour t ≥ 0. Par linéarité, on inverse chaque fraction simple

Avant d'appliquer la formule, on normalise le pôle :

\frac{11}{4 \cdot (s + 1)} = \frac{\frac{11}{4}}{s + 1}

La formule de Laplace inverse de

\frac{1}{{(s - a)}^{n}}

est

t^{n - 1} \cdot \frac{\exp (a t)}{(n - 1)!}

; elle donne pour

\frac{\frac{11}{4}}{s + 1}

\frac{\frac{11}{4} \cdot \exp (-1 \cdot t)}{0!}

Avant d'appliquer la formule, on normalise le pôle :

- \frac{7}{4 \cdot (s - 3)} = - \frac{\frac{7}{4}}{s - 3}

La formule de Laplace inverse de

\frac{1}{{(s - a)}^{n}}

est

t^{n - 1} \cdot \frac{\exp (a t)}{(n - 1)!}

; elle donne pour

- \frac{\frac{7}{4}}{s - 3}

\frac{- \frac{7}{4} \cdot \exp (3 t)}{0!}

⇥

\frac{\frac{11}{4} \cdot \exp (-1 \cdot t)}{0!} + \frac{- \frac{7}{4} \cdot \exp (3 t)}{0!}

⇥ⓘ Multiplier une fraction par un terme revient à multiplier son numérateur :

\frac{11}{4} \cdot \exp (-1 \cdot t)

\frac{11 \exp (-1 \cdot t)}{4}

- \frac{7}{4} \cdot \exp (3 t)

- \frac{7 \exp (3 t)}{4}

■Multiplier par -1 donne l'opposé :

-1 \cdot t

- t

■Par convention, la factorielle de 0 vaut 1 :

0!

1

⇥

\frac{\frac{11 \exp (- t)}{4}}{1} - \frac{\frac{7 \exp (3 t)}{4}}{1}

ⓘ On passe le facteur au numérateur ou au dénominateur en changeant le signe de son exposant, pour une base non nulle :

\frac{11 \exp (- t)}{4}

\frac{11}{4 \exp (t)}

▶Transformée de Laplace inverse :

\frac{11}{4 \exp (t)} - \frac{7 \exp (3 t)}{4}