x-1=(2-x)^2 — solution étape par étape

1) Résolvons dans

ℝ

x - 1 = {(2 - x)}^{2}

x - 1 - {(2 - x)}^{2} = 0

ⓘ Élever une somme à une puissance entière, c'est la multiplier par elle-même :

{(2 - x)}^{2}

(2 - x) \cdot (2 - x)

x - 1 - (2 - x) \cdot (2 - x) = 0

ⓘ On développe en multipliant chaque terme de la parenthèse :

- (2 - x) \cdot (2 - x)

- (2 \cdot 2

+ 2 \cdot (- x)

- x \cdot 2

- x \cdot (- x))

x - 1 - (2 \cdot 2

+ 2 \cdot (- x)

- x \cdot 2

- x \cdot (- x)) = 0

ⓘ Un signe moins devant une parenthèse change le signe de chacun de ses termes :

- (2 \cdot 2

+ 2 \cdot (- x)

- x \cdot 2

- x \cdot (- x))

- 2 \cdot 2

- 2 \cdot (- x)

+ x \cdot 2

+ x \cdot (- x)

x

- 1

- 2 \cdot 2

- 2 \cdot (- x)

+ x \cdot 2

+ x \cdot (- x) = 0

ⓘ Les multiplications se font avant les additions et les soustractions :

2 \cdot 2

4

■Deux signes moins s'annulent :

-2 \cdot (- x)

2 x

■On regroupe les termes semblables en additionnant leurs coefficients :

x + x \cdot 2

3 x

■On place le signe moins devant le produit :

x \cdot (- x)

- x \cdot x

3 x

- 1

- 4

+ 2 x

- x \cdot x = 0

ⓘ On part de

-1

et on recule encore de

4

sur la droite des nombres, en s'éloignant de zéro :

- 1 - 4

-5

■On regroupe les termes semblables en additionnant leurs coefficients :

3 x + 2 x

5 x

■Multiplier des puissances de même base revient à additionner les exposants :

x \cdot x

x^{2}

5 x - 5 - x^{2} = 0

- x^{2} + 5 x - 5 = 0

Comme

-1 \neq 0

, on divise les deux membres par

-1

x^{2} - 5 x + 5 = 0

Étant donné la forme quadratique

a x^{2} + b x + c

, calculons le discriminant :

Δ = b^{2} - 4 a c

. Ici

a = 1

b = -5

c = 5

Δ = {(-5)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 5

ⓘ Les puissances se calculent avant les multiplications, les additions et les soustractions. Une puissance entière est un produit répété :

{(-5)}^{2}

(-5) \cdot (-5)

25

Δ = 25 - 4 \cdot 5

ⓘ Les multiplications se font avant les additions et les soustractions :

4 \cdot 5

20

Δ = 25 - 20

ⓘ On part de

25

et on recule de

20

sur la droite des nombres :

25 - 20

5

Δ = 5

Puisque

Δ > 0

, l'équation admet deux racines :

La formule du second degré donne

x_{1}

\frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- (-5) - \sqrt{5}}{2 \cdot 1}

x_{1} = \frac{5 - \sqrt{5}}{2}

La formule du second degré donne

x_{2}

\frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- (-5) + \sqrt{5}}{2 \cdot 1}

x_{2} = \frac{5 + \sqrt{5}}{2}

▶Solutions obtenues :

x = {\frac{5 - \sqrt{5}}{2}; \frac{5 + \sqrt{5}}{2}}

2) La valeur numérique de :

x = {\frac{5 - \sqrt{5}}{2}; \frac{5 + \sqrt{5}}{2}}

vaut :

x = {\approx \frac{5 - 2,2361}{2}; \approx \frac{5 + 2,2361}{2}}

x = {\approx \frac{2,7639}{2}; \approx \frac{7,2361}{2}}

▷

x = {\approx 1,3820; \approx 3,6180}