x/(x-6)>=-1
1) Résolvons dans ℝ : xx -6 ≥ -1
2) Ajoutons les fractions : xx -6 + 1 ≥ 0
ⓘ Pour additionner des fractions, on les met au même dénominateur puis on additionne les numérateurs : xx -6 + 1 = x + (x -6)x -6
x + (x -6)x -6 ≥ 0
ⓘ On regroupe les termes semblables en additionnant leurs coefficients : x + x = 2x
2x -6x -6 ≥ 0
On étudie le signe du numérateur
⇥L'expression 2x -6 s'annule en :
⇥ x = 62
⇥ⓘ On simplifie la fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par 2, leur plus grand diviseur commun : 62 = 3
⇥ x = 3
⇥Son coefficient en x, 2, étant positif, elle est négative avant et positive après 3
On étudie le signe du dénominateur, qui ne doit pas s'annuler
⇥L'expression x -6 s'annule en x = 6 (valeur interdite), elle est négative avant et positive après
3) Dressons le tableau de signes :
x-∞ 3 6 +∞
2x -6-0++
x -6--0+
xx -6 + 1+0-❌+
Candidats, sous réserve du domaine : x ∈ ]-∞ ; 3] ∪ ]6 ; +∞[
4) Évaluons le domaine de xx -6 ≥ -1
Pour que l'expression xx -6 soit définie, on doit avoir : x -6 ≠ 0
ⓘ On ajoute 6 aux deux membres
Contraintes liées au domaine : x ≠ 6
▶Solution :   x ∈ ]-∞ ; 3] ∪ ]6 ; +∞[