x^2=13+6x — solution étape par étape

1) Résolvons dans

ℝ

x^{2} = 13 + 6 x

x^{2} - 6 x - 13 = 0

Vu la forme quadratique

a x^{2} + b x + c

, on calcule le discriminant :

Δ = b^{2} - 4 a c

. Ici

a = 1

b = -6

c = -13

Δ = {(-6)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (-13)

ⓘ Les puissances se calculent avant les multiplications, les additions et les soustractions. Une puissance entière est un produit répété :

{(-6)}^{2}

(-6) \cdot (-6)

36

Δ = 36 - 4 \cdot (-13)

ⓘ Les multiplications se font avant les additions et les soustractions. Deux signes moins s'annulent, le produit de deux nombres négatifs est positif :

- 4 \cdot (-13)

4 \cdot 13

4 \cdot (10 + 3)

4 \cdot 10 + 4 \cdot 3

40 + 12

52

Δ = 36 + 52

ⓘ On part de

36

et on avance de

52

sur la droite des nombres :

36 + 52

88

Δ = 88

Comme

Δ > 0

, l'équation a deux racines :

La formule du second degré donne

x_{1}

\frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- (-6) - \sqrt{88}}{2 \cdot 1}

x_{1} = \frac{6 - \sqrt{88}}{2}

ⓘ On cherche le plus grand carré qui divise

88

4

2^{2}

, et on le sort de la racine :

\sqrt{88}

\sqrt{4 \cdot 22}

\sqrt{4} \cdot \sqrt{22}

2 \cdot \sqrt{22}

x_{1} = \frac{6 - 2 \cdot \sqrt{22}}{2}

ⓘ On simplifie une fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par un même nombre :

\frac{6 - 2 \cdot \sqrt{22}}{2}

\frac{2 \cdot (3 - \sqrt{22})}{2}

3 - \sqrt{22}

x_{1} = 3 - \sqrt{22}

La formule du second degré donne

x_{2}

\frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- (-6) + \sqrt{88}}{2 \cdot 1}

x_{2} = \frac{6 + \sqrt{88}}{2}

ⓘ On cherche le plus grand carré qui divise

88

4

2^{2}

, et on le sort de la racine :

\sqrt{88}

\sqrt{4 \cdot 22}

\sqrt{4} \cdot \sqrt{22}

2 \cdot \sqrt{22}

x_{2} = \frac{6 + 2 \cdot \sqrt{22}}{2}

ⓘ On simplifie une fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par un même nombre :

\frac{6 + 2 \cdot \sqrt{22}}{2}

\frac{2 \cdot (3 + \sqrt{22})}{2}

3 + \sqrt{22}

x_{2} = 3 + \sqrt{22}

▶Solutions obtenues :

x = {3 - \sqrt{22}; 3 + \sqrt{22}}

2) La valeur numérique de :

x = {3 - \sqrt{22}; 3 + \sqrt{22}}

vaut :

x = {\approx 3 - 4,6904; \approx 3 + 4,6904}

▷

x = {\approx -1,6904; \approx 7,6904}