x^2-12x+3<0 — solution étape par étape

1) Résolvons dans

ℝ

x^{2} - 12 x + 3 < 0

Vu la forme quadratique

a x^{2} + b x + c

, on calcule le discriminant :

Δ = b^{2} - 4 a c

. Ici

a = 1

b = -12

c = 3

Δ = {(-12)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 3

ⓘ Les puissances se calculent avant les multiplications, les additions et les soustractions. Une puissance entière est un produit répété :

{(-12)}^{2}

(-12) \cdot (-12)

144

Δ = 144 - 4 \cdot 3

ⓘ Les multiplications se font avant les additions et les soustractions :

4 \cdot 3

12

Δ = 144 - 12

ⓘ On part de

144

et on recule de

12

sur la droite des nombres :

144 - 12

132

Δ = 132

Comme

Δ > 0

, l'équation a deux racines :

La formule du second degré donne

x_{1}

\frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- (-12) - \sqrt{132}}{2 \cdot 1}

x_{1} = \frac{12 - \sqrt{132}}{2}

ⓘ On cherche le plus grand carré qui divise

132

4

2^{2}

, et on le sort de la racine :

\sqrt{132}

\sqrt{4 \cdot 33}

\sqrt{4} \cdot \sqrt{33}

2 \cdot \sqrt{33}

x_{1} = \frac{12 - 2 \cdot \sqrt{33}}{2}

ⓘ On simplifie une fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par un même nombre :

\frac{12 - 2 \cdot \sqrt{33}}{2}

\frac{2 \cdot (6 - \sqrt{33})}{2}

6 - \sqrt{33}

x_{1} = 6 - \sqrt{33}

La formule du second degré donne

x_{2}

\frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- (-12) + \sqrt{132}}{2 \cdot 1}

x_{2} = \frac{12 + \sqrt{132}}{2}

ⓘ On cherche le plus grand carré qui divise

132

4

2^{2}

, et on le sort de la racine :

\sqrt{132}

\sqrt{4 \cdot 33}

\sqrt{4} \cdot \sqrt{33}

2 \cdot \sqrt{33}

x_{2} = \frac{12 + 2 \cdot \sqrt{33}}{2}

ⓘ On simplifie une fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par un même nombre :

\frac{12 + 2 \cdot \sqrt{33}}{2}

\frac{2 \cdot (6 + \sqrt{33})}{2}

6 + \sqrt{33}

x_{2} = 6 + \sqrt{33}

Le trinôme est du signe opposé à a =

1

entre ses racines, donc il est bien négatif entre ses racines ; les racines, où il s'annule, sont exclues.

▶Solution trouvée :

x \in] 6 - \sqrt{33}; 6 + \sqrt{33} [

2) La valeur numérique de :

x \in] 6 - \sqrt{33}; 6 + \sqrt{33} [

est :

x \in] 6 - \approx 5,7446; 6 + \approx 5,7446 [

▷

x \in] \approx 0,2554; \approx 11,7446 [