x^2-14x+36=0 — solution étape par étape

1) Résolvons dans

ℝ

x^{2} - 14 x + 36 = 0

Vu la forme quadratique

a x^{2} + b x + c

, on calcule le discriminant :

Δ = b^{2} - 4 a c

. Ici

a = 1

b = -14

c = 36

Δ = {(-14)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 36

ⓘ Les puissances se calculent avant les multiplications, les additions et les soustractions. Une puissance entière est un produit répété :

{(-14)}^{2}

(-14) \cdot (-14)

196

Δ = 196 - 4 \cdot 36

ⓘ Les multiplications se font avant les additions et les soustractions :

4 \cdot 36

4 \cdot (30 + 6)

4 \cdot 30 + 4 \cdot 6

120 + 24

144

Δ = 196 - 144

ⓘ On part de

196

et on recule de

144

sur la droite des nombres :

196 - 144

52

Δ = 52

Puisque

Δ > 0

, l'équation admet deux racines :

La formule du second degré donne

x_{1}

\frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- (-14) - \sqrt{52}}{2 \cdot 1}

x_{1} = \frac{14 - \sqrt{52}}{2}

ⓘ On cherche le plus grand carré qui divise

52

4

2^{2}

, et on le sort de la racine :

\sqrt{52}

\sqrt{4 \cdot 13}

\sqrt{4} \cdot \sqrt{13}

2 \cdot \sqrt{13}

x_{1} = \frac{14 - 2 \cdot \sqrt{13}}{2}

ⓘ On simplifie une fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par un même nombre :

\frac{14 - 2 \cdot \sqrt{13}}{2}

\frac{2 \cdot (7 - \sqrt{13})}{2}

7 - \sqrt{13}

x_{1} = 7 - \sqrt{13}

La formule du second degré donne

x_{2}

\frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- (-14) + \sqrt{52}}{2 \cdot 1}

x_{2} = \frac{14 + \sqrt{52}}{2}

ⓘ On cherche le plus grand carré qui divise

52

4

2^{2}

, et on le sort de la racine :

\sqrt{52}

\sqrt{4 \cdot 13}

\sqrt{4} \cdot \sqrt{13}

2 \cdot \sqrt{13}

x_{2} = \frac{14 + 2 \cdot \sqrt{13}}{2}

ⓘ On simplifie une fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par un même nombre :

\frac{14 + 2 \cdot \sqrt{13}}{2}

\frac{2 \cdot (7 + \sqrt{13})}{2}

7 + \sqrt{13}

x_{2} = 7 + \sqrt{13}

▶Solutions trouvées :

x = {7 - \sqrt{13}; 7 + \sqrt{13}}

2) La valeur numérique de :

x = {7 - \sqrt{13}; 7 + \sqrt{13}}

est :

x = {\approx 7 - 3,6056; \approx 7 + 3,6056}

▷

x = {\approx 3,3944; \approx 10,6056}