x^2-2x-3>0 — solution étape par étape

Résolvons dans

ℝ

x^{2} - 2 x - 3 > 0

Étant donné la forme quadratique

a x^{2} + b x + c

, calculons le discriminant :

Δ = b^{2} - 4 a c

. Ici

a = 1

b = -2

c = -3

Δ = {(-2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (-3)

ⓘ Les puissances se calculent avant les multiplications, les additions et les soustractions. Une puissance entière est un produit répété :

{(-2)}^{2}

(-2) \cdot (-2)

4

Δ = 4 - 4 \cdot (-3)

ⓘ Les multiplications se font avant les additions et les soustractions. Deux signes moins s'annulent, le produit de deux nombres négatifs est positif :

- 4 \cdot (-3)

12

Δ = 4 + 12

ⓘ On part de

4

et on avance de

12

sur la droite des nombres :

4 + 12

16

Δ = 16

Puisque

Δ > 0

, l'équation admet deux racines :

La formule du second degré donne

x_{1}

\frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- (-2) - \sqrt{16}}{2 \cdot 1}

x_{1} = \frac{2 - \sqrt{16}}{2}

ⓘ La racine carrée d'un nombre est le nombre positif dont le carré vaut ce nombre :

\sqrt{16}

4

;

4^{2}

16

x_{1} = \frac{2 - 4}{2}

ⓘ Le numérateur et le dénominateur se calculent avant la division :

2 - 4

-2

x_{1} = - \frac{2}{2}

ⓘ On simplifie la fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par

2

, leur plus grand diviseur commun :

- \frac{2}{2}

-1

x_{1} = -1

La formule du second degré donne

x_{2}

\frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- (-2) + \sqrt{16}}{2 \cdot 1}

x_{2} = \frac{2 + \sqrt{16}}{2}

ⓘ La racine carrée d'un nombre est le nombre positif dont le carré vaut ce nombre :

\sqrt{16}

4

;

4^{2}

16

x_{2} = \frac{2 + 4}{2}

ⓘ Le numérateur et le dénominateur se calculent avant la division :

2 + 4

6

x_{2} = \frac{6}{2}

ⓘ On simplifie la fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par

2

, leur plus grand diviseur commun :

\frac{6}{2}

3

x_{2} = 3

Le trinôme est du signe de a =

1

à l'extérieur de ses racines, donc il est bien positif à l'extérieur de ses racines ; les racines, où il s'annule, sont exclues.

▶Solution obtenue :

x \in] -∞; -1 [\cup] 3; +∞ [