x^2-5x-5=0 — solution étape par étape

1) Résolvons dans

ℝ

x^{2} - 5 x - 5 = 0

Étant donné la forme quadratique

a x^{2} + b x + c

, calculons le discriminant :

Δ = b^{2} - 4 a c

. Ici

a = 1

b = -5

c = -5

Δ = {(-5)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (-5)

ⓘ Les puissances se calculent avant les multiplications, les additions et les soustractions. Une puissance entière est un produit répété :

{(-5)}^{2}

(-5) \cdot (-5)

25

Δ = 25 - 4 \cdot (-5)

ⓘ Les multiplications se font avant les additions et les soustractions. Deux signes moins s'annulent, le produit de deux nombres négatifs est positif :

- 4 \cdot (-5)

20

Δ = 25 + 20

ⓘ On part de

25

et on avance de

20

sur la droite des nombres :

25 + 20

45

Δ = 45

Comme

Δ > 0

, l'équation a deux racines :

La formule du second degré donne

x_{1}

\frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- (-5) - \sqrt{45}}{2 \cdot 1}

x_{1} = \frac{5 - \sqrt{45}}{2}

ⓘ On cherche le plus grand carré qui divise

45

9

3^{2}

, et on le sort de la racine :

\sqrt{45}

\sqrt{9 \cdot 5}

\sqrt{9} \cdot \sqrt{5}

3 \cdot \sqrt{5}

x_{1} = \frac{5 - 3 \cdot \sqrt{5}}{2}

La formule du second degré donne

x_{2}

\frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- (-5) + \sqrt{45}}{2 \cdot 1}

x_{2} = \frac{5 + \sqrt{45}}{2}

ⓘ On cherche le plus grand carré qui divise

45

9

3^{2}

, et on le sort de la racine :

\sqrt{45}

\sqrt{9 \cdot 5}

\sqrt{9} \cdot \sqrt{5}

3 \cdot \sqrt{5}

x_{2} = \frac{5 + 3 \cdot \sqrt{5}}{2}

▶Solutions obtenues :

x = {\frac{5 - 3 \cdot \sqrt{5}}{2}; \frac{5 + 3 \cdot \sqrt{5}}{2}}

2) La valeur numérique de :

x = {\frac{5 - 3 \cdot \sqrt{5}}{2}; \frac{5 + 3 \cdot \sqrt{5}}{2}}

est :

x = {\approx \frac{5 - 3 \cdot 2,2361}{2}; \approx \frac{5 + 3 \cdot 2,2361}{2}}

x = {\approx \frac{5 - 6,7082}{2}; \approx \frac{5 + 6,7082}{2}}

x = {\approx - \frac{1,7082}{2}; \approx \frac{11,7082}{2}}

▷

x = {\approx -0,8541; \approx 5,8541}