x^2-8x-105=-10 — solution étape par étape

1) Résolvons dans

ℝ

x^{2} - 8 x - 105 = -10

ⓘ On ajoute

10

aux deux membres

x^{2}

- 8 x

- 105

+ 10 = 0

ⓘ On part de

-105

et on avance de

10

sur la droite des nombres, en se rapprochant de zéro :

- 105 + 10

-95

x^{2} - 8 x - 95 = 0

Vu la forme quadratique

a x^{2} + b x + c

, on calcule le discriminant :

Δ = b^{2} - 4 a c

. Ici

a = 1

b = -8

c = -95

Δ = {(-8)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (-95)

ⓘ Les puissances se calculent avant les multiplications, les additions et les soustractions. Une puissance entière est un produit répété :

{(-8)}^{2}

(-8) \cdot (-8)

64

Δ = 64 - 4 \cdot (-95)

ⓘ Les multiplications se font avant les additions et les soustractions. Deux signes moins s'annulent, le produit de deux nombres négatifs est positif :

- 4 \cdot (-95)

4 \cdot 95

4 \cdot (90 + 5)

4 \cdot 90 + 4 \cdot 5

360 + 20

380

Δ = 64 + 380

ⓘ On part de

64

et on avance de

380

sur la droite des nombres :

64 + 380

444

Δ = 444

Puisque

Δ > 0

, l'équation admet deux racines :

La formule du second degré donne

x_{1}

\frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- (-8) - \sqrt{444}}{2 \cdot 1}

x_{1} = \frac{8 - \sqrt{444}}{2}

ⓘ On cherche le plus grand carré qui divise

444

4

2^{2}

, et on le sort de la racine :

\sqrt{444}

\sqrt{4 \cdot 111}

\sqrt{4} \cdot \sqrt{111}

2 \cdot \sqrt{111}

x_{1} = \frac{8 - 2 \cdot \sqrt{111}}{2}

ⓘ On simplifie une fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par un même nombre :

\frac{8 - 2 \cdot \sqrt{111}}{2}

\frac{2 \cdot (4 - \sqrt{111})}{2}

4 - \sqrt{111}

x_{1} = 4 - \sqrt{111}

La formule du second degré donne

x_{2}

\frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- (-8) + \sqrt{444}}{2 \cdot 1}

x_{2} = \frac{8 + \sqrt{444}}{2}

ⓘ On cherche le plus grand carré qui divise

444

4

2^{2}

, et on le sort de la racine :

\sqrt{444}

\sqrt{4 \cdot 111}

\sqrt{4} \cdot \sqrt{111}

2 \cdot \sqrt{111}

x_{2} = \frac{8 + 2 \cdot \sqrt{111}}{2}

ⓘ On simplifie une fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par un même nombre :

\frac{8 + 2 \cdot \sqrt{111}}{2}

\frac{2 \cdot (4 + \sqrt{111})}{2}

4 + \sqrt{111}

x_{2} = 4 + \sqrt{111}

▶Solutions trouvées :

x = {4 - \sqrt{111}; 4 + \sqrt{111}}

2) La valeur numérique de :

x = {4 - \sqrt{111}; 4 + \sqrt{111}}

est :

x = {\approx 4 - 10,5357; \approx 4 + 10,5357}

▷

x = {\approx -6,5357; \approx 14,5357}