x^2-8x+1=0 — solution étape par étape

1) Résolvons dans

ℝ

x^{2} - 8 x + 1 = 0

Vu la forme quadratique

a x^{2} + b x + c

, on calcule le discriminant :

Δ = b^{2} - 4 a c

. Ici

a = 1

b = -8

c = 1

Δ = {(-8)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1

ⓘ Les puissances se calculent avant les multiplications, les additions et les soustractions. Une puissance entière est un produit répété :

{(-8)}^{2}

(-8) \cdot (-8)

64

Δ = 64 - 4

ⓘ On part de

64

et on recule de

4

sur la droite des nombres :

64 - 4

60

Δ = 60

Comme

Δ > 0

, l'équation a deux racines :

La formule du second degré donne

x_{1}

\frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- (-8) - \sqrt{60}}{2 \cdot 1}

x_{1} = \frac{8 - \sqrt{60}}{2}

ⓘ On cherche le plus grand carré qui divise

60

4

2^{2}

, et on le sort de la racine :

\sqrt{60}

\sqrt{4 \cdot 15}

\sqrt{4} \cdot \sqrt{15}

2 \cdot \sqrt{15}

x_{1} = \frac{8 - 2 \cdot \sqrt{15}}{2}

ⓘ On simplifie une fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par un même nombre :

\frac{8 - 2 \cdot \sqrt{15}}{2}

\frac{2 \cdot (4 - \sqrt{15})}{2}

4 - \sqrt{15}

x_{1} = 4 - \sqrt{15}

La formule du second degré donne

x_{2}

\frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- (-8) + \sqrt{60}}{2 \cdot 1}

x_{2} = \frac{8 + \sqrt{60}}{2}

ⓘ On cherche le plus grand carré qui divise

60

4

2^{2}

, et on le sort de la racine :

\sqrt{60}

\sqrt{4 \cdot 15}

\sqrt{4} \cdot \sqrt{15}

2 \cdot \sqrt{15}

x_{2} = \frac{8 + 2 \cdot \sqrt{15}}{2}

ⓘ On simplifie une fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par un même nombre :

\frac{8 + 2 \cdot \sqrt{15}}{2}

\frac{2 \cdot (4 + \sqrt{15})}{2}

4 + \sqrt{15}

x_{2} = 4 + \sqrt{15}

▶Solutions trouvées :

x = {4 - \sqrt{15}; 4 + \sqrt{15}}

2) La valeur numérique de :

x = {4 - \sqrt{15}; 4 + \sqrt{15}}

est :

x = {\approx 4 - 3,8730; \approx 4 + 3,8730}

▷

x = {\approx 0,1270; \approx 7,8730}