x^2-9x-5x-2=0 — solution étape par étape

1) Résolvons dans

ℝ

x^{2}

- 9 x

- 5 x

- 2 = 0

ⓘ On regroupe les termes semblables en additionnant leurs coefficients :

- 9 x - 5 x

-14 x

x^{2} - 14 x - 2 = 0

Étant donné la forme quadratique

a x^{2} + b x + c

, calculons le discriminant :

Δ = b^{2} - 4 a c

. Ici

a = 1

b = -14

c = -2

Δ = {(-14)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (-2)

ⓘ Les puissances se calculent avant les multiplications, les additions et les soustractions. Une puissance entière est un produit répété :

{(-14)}^{2}

(-14) \cdot (-14)

196

Δ = 196 - 4 \cdot (-2)

ⓘ Les multiplications se font avant les additions et les soustractions. Deux signes moins s'annulent, le produit de deux nombres négatifs est positif :

- 4 \cdot (-2)

8

Δ = 196 + 8

ⓘ On part de

196

et on avance de

8

sur la droite des nombres :

196 + 8

204

Δ = 204

Puisque

Δ > 0

, l'équation admet deux racines :

La formule du second degré donne

x_{1}

\frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- (-14) - \sqrt{204}}{2 \cdot 1}

x_{1} = \frac{14 - \sqrt{204}}{2}

ⓘ On cherche le plus grand carré qui divise

204

4

2^{2}

, et on le sort de la racine :

\sqrt{204}

\sqrt{4 \cdot 51}

\sqrt{4} \cdot \sqrt{51}

2 \cdot \sqrt{51}

x_{1} = \frac{14 - 2 \cdot \sqrt{51}}{2}

ⓘ On simplifie une fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par un même nombre :

\frac{14 - 2 \cdot \sqrt{51}}{2}

\frac{2 \cdot (7 - \sqrt{51})}{2}

7 - \sqrt{51}

x_{1} = 7 - \sqrt{51}

La formule du second degré donne

x_{2}

\frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- (-14) + \sqrt{204}}{2 \cdot 1}

x_{2} = \frac{14 + \sqrt{204}}{2}

ⓘ On cherche le plus grand carré qui divise

204

4

2^{2}

, et on le sort de la racine :

\sqrt{204}

\sqrt{4 \cdot 51}

\sqrt{4} \cdot \sqrt{51}

2 \cdot \sqrt{51}

x_{2} = \frac{14 + 2 \cdot \sqrt{51}}{2}

ⓘ On simplifie une fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par un même nombre :

\frac{14 + 2 \cdot \sqrt{51}}{2}

\frac{2 \cdot (7 + \sqrt{51})}{2}

7 + \sqrt{51}

x_{2} = 7 + \sqrt{51}

▶Solutions obtenues :

x = {7 - \sqrt{51}; 7 + \sqrt{51}}

2) La valeur numérique de :

x = {7 - \sqrt{51}; 7 + \sqrt{51}}

vaut :

x = {\approx 7 - 7,1414; \approx 7 + 7,1414}

▷

x = {\approx -0,1414; \approx 14,1414}