x^2-9x+9=0 — solution étape par étape

1) Résolvons dans

ℝ

x^{2} - 9 x + 9 = 0

Vu la forme quadratique

a x^{2} + b x + c

, on calcule le discriminant :

Δ = b^{2} - 4 a c

. Ici

a = 1

b = -9

c = 9

Δ = {(-9)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 9

ⓘ Les puissances se calculent avant les multiplications, les additions et les soustractions. Une puissance entière est un produit répété :

{(-9)}^{2}

(-9) \cdot (-9)

81

Δ = 81 - 4 \cdot 9

ⓘ Les multiplications se font avant les additions et les soustractions :

4 \cdot 9

36

Δ = 81 - 36

ⓘ On part de

81

et on recule de

36

sur la droite des nombres :

81 - 36

45

Δ = 45

Puisque

Δ > 0

, l'équation admet deux racines :

La formule du second degré donne

x_{1}

\frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- (-9) - \sqrt{45}}{2 \cdot 1}

x_{1} = \frac{9 - \sqrt{45}}{2}

ⓘ On cherche le plus grand carré qui divise

45

9

3^{2}

, et on le sort de la racine :

\sqrt{45}

\sqrt{9 \cdot 5}

\sqrt{9} \cdot \sqrt{5}

3 \cdot \sqrt{5}

x_{1} = \frac{9 - 3 \cdot \sqrt{5}}{2}

La formule du second degré donne

x_{2}

\frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- (-9) + \sqrt{45}}{2 \cdot 1}

x_{2} = \frac{9 + \sqrt{45}}{2}

ⓘ On cherche le plus grand carré qui divise

45

9

3^{2}

, et on le sort de la racine :

\sqrt{45}

\sqrt{9 \cdot 5}

\sqrt{9} \cdot \sqrt{5}

3 \cdot \sqrt{5}

x_{2} = \frac{9 + 3 \cdot \sqrt{5}}{2}

▶Solutions obtenues :

x = {\frac{9 - 3 \cdot \sqrt{5}}{2}; \frac{9 + 3 \cdot \sqrt{5}}{2}}

2) La valeur numérique de :

x = {\frac{9 - 3 \cdot \sqrt{5}}{2}; \frac{9 + 3 \cdot \sqrt{5}}{2}}

vaut :

x = {\approx \frac{9 - 3 \cdot 2,2361}{2}; \approx \frac{9 + 3 \cdot 2,2361}{2}}

x = {\approx \frac{9 - 6,7082}{2}; \approx \frac{9 + 6,7082}{2}}

x = {\approx \frac{2,2918}{2}; \approx \frac{15,7082}{2}}

▷

x = {\approx 1,1459; \approx 7,8541}