x^2-x-11=0 — solution étape par étape

1) Résolvons dans

ℝ

x^{2} - x - 11 = 0

Étant donné la forme quadratique

a x^{2} + b x + c

, calculons le discriminant :

Δ = b^{2} - 4 a c

. Ici

a = 1

b = -1

c = -11

Δ = {(-1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (-11)

ⓘ Les puissances se calculent avant les multiplications, les additions et les soustractions. Une puissance entière est un produit répété :

{(-1)}^{2}

(-1) \cdot (-1)

1

Δ = 1 - 4 \cdot (-11)

ⓘ Les multiplications se font avant les additions et les soustractions. Deux signes moins s'annulent, le produit de deux nombres négatifs est positif :

- 4 \cdot (-11)

4 \cdot 11

4 \cdot (10 + 1)

4 \cdot 10 + 4

40 + 4

44

Δ = 1 + 44

ⓘ On part de

1

et on avance de

44

sur la droite des nombres :

1 + 44

45

Δ = 45

Comme

Δ > 0

, l'équation a deux racines :

La formule du second degré donne

x_{1}

\frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- (-1) - \sqrt{45}}{2 \cdot 1}

x_{1} = \frac{1 - \sqrt{45}}{2}

ⓘ On cherche le plus grand carré qui divise

45

9

3^{2}

, et on le sort de la racine :

\sqrt{45}

\sqrt{9 \cdot 5}

\sqrt{9} \cdot \sqrt{5}

3 \cdot \sqrt{5}

x_{1} = \frac{1 - 3 \cdot \sqrt{5}}{2}

La formule du second degré donne

x_{2}

\frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- (-1) + \sqrt{45}}{2 \cdot 1}

x_{2} = \frac{1 + \sqrt{45}}{2}

ⓘ On cherche le plus grand carré qui divise

45

9

3^{2}

, et on le sort de la racine :

\sqrt{45}

\sqrt{9 \cdot 5}

\sqrt{9} \cdot \sqrt{5}

3 \cdot \sqrt{5}

x_{2} = \frac{1 + 3 \cdot \sqrt{5}}{2}

▶Solutions trouvées :

x = {\frac{1 - 3 \cdot \sqrt{5}}{2}; \frac{1 + 3 \cdot \sqrt{5}}{2}}

2) La valeur numérique de :

x = {\frac{1 - 3 \cdot \sqrt{5}}{2}; \frac{1 + 3 \cdot \sqrt{5}}{2}}

est :

x = {\approx \frac{1 - 3 \cdot 2,2361}{2}; \approx \frac{1 + 3 \cdot 2,2361}{2}}

x = {\approx \frac{1 - 6,7082}{2}; \approx \frac{1 + 6,7082}{2}}

x = {\approx - \frac{5,7082}{2}; \approx \frac{7,7082}{2}}

▷

x = {\approx -2,8541; \approx 3,8541}