x^2+10x-1=0 — solution étape par étape

1) Résolvons dans

ℝ

x^{2} + 10 x - 1 = 0

Étant donné la forme quadratique

a x^{2} + b x + c

, calculons le discriminant :

Δ = b^{2} - 4 a c

. Ici

a = 1

b = 10

c = -1

Δ = 10^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (-1)

ⓘ Les puissances se calculent avant les multiplications, les additions et les soustractions. Une puissance entière est un produit répété :

10^{2}

10 \cdot 10

100

Δ = 100 - 4 \cdot (-1)

ⓘ Les multiplications se font avant les additions et les soustractions. Deux signes moins s'annulent, le produit de deux nombres négatifs est positif :

- 4 \cdot (-1)

4

Δ = 100 + 4

ⓘ On part de

100

et on avance de

4

sur la droite des nombres :

100 + 4

104

Δ = 104

Comme

Δ > 0

, l'équation a deux racines :

La formule du second degré donne

x_{1}

\frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- 10 - \sqrt{104}}{2 \cdot 1}

x_{1} = \frac{- 10 - \sqrt{104}}{2}

ⓘ On cherche le plus grand carré qui divise

104

4

2^{2}

, et on le sort de la racine :

\sqrt{104}

\sqrt{4 \cdot 26}

\sqrt{4} \cdot \sqrt{26}

2 \cdot \sqrt{26}

■On met le signe moins en facteur, en changeant le signe de chaque terme :

- 10 - 2 \cdot \sqrt{26}

- (10 + 2 \cdot \sqrt{26})

x_{1} = - \frac{10 + 2 \cdot \sqrt{26}}{2}

ⓘ On simplifie une fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par un même nombre :

- \frac{10 + 2 \cdot \sqrt{26}}{2}

- \frac{2 \cdot (5 + \sqrt{26})}{2}

- (5 + \sqrt{26})

x_{1} = - (5 + \sqrt{26})

ⓘ Un signe moins devant une parenthèse change le signe de chacun de ses termes :

- (5 + \sqrt{26})

- 5 - \sqrt{26}

x_{1} = - 5 - \sqrt{26}

La formule du second degré donne

x_{2}

\frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- 10 + \sqrt{104}}{2 \cdot 1}

x_{2} = \frac{- 10 + \sqrt{104}}{2}

ⓘ On cherche le plus grand carré qui divise

104

4

2^{2}

, et on le sort de la racine :

\sqrt{104}

\sqrt{4 \cdot 26}

\sqrt{4} \cdot \sqrt{26}

2 \cdot \sqrt{26}

x_{2} = \frac{- 10 + 2 \cdot \sqrt{26}}{2}

ⓘ On simplifie une fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par un même nombre :

\frac{- 10 + 2 \cdot \sqrt{26}}{2}

\frac{2 \cdot (- 5 + \sqrt{26})}{2}

- 5 + \sqrt{26}

x_{2} = - 5 + \sqrt{26}

▶Solutions obtenues :

x = {- \sqrt{26} - 5; \sqrt{26} - 5}

2) La valeur numérique de :

x = {- \sqrt{26} - 5; \sqrt{26} - 5}

vaut :

x = {\approx - 5,0990 - 5; \approx 5,0990 - 5}

▷

x = {\approx -10,0990; \approx 9,902 \times 10^{- 2}}