x^2+11x+28>= 0 — solution étape par étape

Résolvons dans

ℝ

x^{2} + 11 x + 28 \geq 0

Étant donné la forme quadratique

a x^{2} + b x + c

, calculons le discriminant :

Δ = b^{2} - 4 a c

. Ici

a = 1

b = 11

c = 28

Δ = 11^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 28

ⓘ Les puissances se calculent avant les multiplications, les additions et les soustractions. Une puissance entière est un produit répété :

11^{2}

11 \cdot 11

121

Δ = 121 - 4 \cdot 28

ⓘ Les multiplications se font avant les additions et les soustractions :

4 \cdot 28

4 \cdot (20 + 8)

4 \cdot 20 + 4 \cdot 8

80 + 32

112

Δ = 121 - 112

ⓘ On part de

121

et on recule de

112

sur la droite des nombres :

121 - 112

9

Δ = 9

Puisque

Δ > 0

, l'équation admet deux racines :

La formule du second degré donne

x_{1}

\frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- 11 - \sqrt{9}}{2 \cdot 1}

x_{1} = \frac{- 11 - \sqrt{9}}{2}

ⓘ La racine carrée d'un nombre est le nombre positif dont le carré vaut ce nombre :

\sqrt{9}

3

;

3^{2}

9

x_{1} = \frac{- 11 - 3}{2}

ⓘ Le numérateur et le dénominateur se calculent avant la division :

- 11 - 3

-14

x_{1} = - \frac{14}{2}

ⓘ On simplifie la fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par

2

, leur plus grand diviseur commun :

- \frac{14}{2}

-7

x_{1} = -7

La formule du second degré donne

x_{2}

\frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- 11 + \sqrt{9}}{2 \cdot 1}

x_{2} = \frac{- 11 + \sqrt{9}}{2}

ⓘ La racine carrée d'un nombre est le nombre positif dont le carré vaut ce nombre :

\sqrt{9}

3

;

3^{2}

9

x_{2} = \frac{- 11 + 3}{2}

ⓘ Le numérateur et le dénominateur se calculent avant la division :

- 11 + 3

-8

x_{2} = - \frac{8}{2}

ⓘ On simplifie la fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par

2

, leur plus grand diviseur commun :

- \frac{8}{2}

-4

x_{2} = -4

Le trinôme est du signe de a =

1

à l'extérieur de ses racines, donc il est bien positif à l'extérieur de ses racines ; les racines, où il s'annule, sont incluses.

▶Solution obtenue :

x \in] -∞; -7] \cup [-4; +∞ [