x^2+16x+62=0 — solution étape par étape

1) Résolvons dans

ℝ

x^{2} + 16 x + 62 = 0

Vu la forme quadratique

a x^{2} + b x + c

, on calcule le discriminant :

Δ = b^{2} - 4 a c

. Ici

a = 1

b = 16

c = 62

Δ = 16^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 62

ⓘ Les puissances se calculent avant les multiplications, les additions et les soustractions. Une puissance entière est un produit répété :

16^{2}

16 \cdot 16

256

Δ = 256 - 4 \cdot 62

ⓘ Les multiplications se font avant les additions et les soustractions :

4 \cdot 62

4 \cdot (60 + 2)

4 \cdot 60 + 4 \cdot 2

240 + 8

248

Δ = 256 - 248

ⓘ On part de

256

et on recule de

248

sur la droite des nombres :

256 - 248

8

Δ = 8

Comme

Δ > 0

, l'équation a deux racines :

La formule du second degré donne

x_{1}

\frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- 16 - \sqrt{8}}{2 \cdot 1}

x_{1} = \frac{- 16 - \sqrt{8}}{2}

ⓘ On cherche le plus grand carré qui divise

8

4

2^{2}

, et on le sort de la racine :

\sqrt{8}

\sqrt{4 \cdot 2}

\sqrt{4} \cdot \sqrt{2}

2 \cdot \sqrt{2}

■On met le signe moins en facteur, en changeant le signe de chaque terme :

- 16 - 2 \cdot \sqrt{2}

- (16 + 2 \cdot \sqrt{2})

x_{1} = - \frac{16 + 2 \cdot \sqrt{2}}{2}

ⓘ On simplifie une fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par un même nombre :

- \frac{16 + 2 \cdot \sqrt{2}}{2}

- \frac{2 \cdot (8 + \sqrt{2})}{2}

- (8 + \sqrt{2})

x_{1} = - (8 + \sqrt{2})

ⓘ Un signe moins devant une parenthèse change le signe de chacun de ses termes :

- (8 + \sqrt{2})

- 8 - \sqrt{2}

x_{1} = - 8 - \sqrt{2}

La formule du second degré donne

x_{2}

\frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- 16 + \sqrt{8}}{2 \cdot 1}

x_{2} = \frac{- 16 + \sqrt{8}}{2}

ⓘ On cherche le plus grand carré qui divise

8

4

2^{2}

, et on le sort de la racine :

\sqrt{8}

\sqrt{4 \cdot 2}

\sqrt{4} \cdot \sqrt{2}

2 \cdot \sqrt{2}

x_{2} = \frac{- 16 + 2 \cdot \sqrt{2}}{2}

ⓘ On simplifie une fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par un même nombre :

\frac{- 16 + 2 \cdot \sqrt{2}}{2}

\frac{2 \cdot (- 8 + \sqrt{2})}{2}

- 8 + \sqrt{2}

x_{2} = - 8 + \sqrt{2}

▶Solutions trouvées :

x = {- \sqrt{2} - 8; \sqrt{2} - 8}

2) La valeur numérique de :

x = {- \sqrt{2} - 8; \sqrt{2} - 8}

est :

x = {\approx - 1,4142 - 8; \approx 1,4142 - 8}

▷

x = {\approx -9,4142; \approx -6,5858}