x^2+21x-20>= 4x-80 — solution étape par étape

Résolvons dans

ℝ

x^{2} + 21 x - 20 \geq 4 x - 80

x^{2}

+ 21 x

- 20

- 4 x

+ 80 \geq 0

ⓘ On part de

-20

et on avance de

80

sur la droite des nombres, en dépassant zéro :

- 20 + 80

60

■On regroupe les termes semblables en additionnant leurs coefficients :

21 x - 4 x

17 x

x^{2} + 17 x + 60 \geq 0

Étant donné la forme quadratique

a x^{2} + b x + c

, calculons le discriminant :

Δ = b^{2} - 4 a c

. Ici

a = 1

b = 17

c = 60

Δ = 17^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 60

ⓘ Les puissances se calculent avant les multiplications, les additions et les soustractions. Une puissance entière est un produit répété :

17^{2}

17 \cdot 17

289

Δ = 289 - 4 \cdot 60

ⓘ Les multiplications se font avant les additions et les soustractions :

4 \cdot 60

240

Δ = 289 - 240

ⓘ On part de

289

et on recule de

240

sur la droite des nombres :

289 - 240

49

Δ = 49

Comme

Δ > 0

, l'équation a deux racines :

La formule du second degré donne

x_{1}

\frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- 17 - \sqrt{49}}{2 \cdot 1}

x_{1} = \frac{- 17 - \sqrt{49}}{2}

ⓘ La racine carrée d'un nombre est le nombre positif dont le carré vaut ce nombre :

\sqrt{49}

7

;

7^{2}

49

x_{1} = \frac{- 17 - 7}{2}

ⓘ Le numérateur et le dénominateur se calculent avant la division :

- 17 - 7

-24

x_{1} = - \frac{24}{2}

ⓘ On simplifie la fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par

2

, leur plus grand diviseur commun :

- \frac{24}{2}

-12

x_{1} = -12

La formule du second degré donne

x_{2}

\frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- 17 + \sqrt{49}}{2 \cdot 1}

x_{2} = \frac{- 17 + \sqrt{49}}{2}

ⓘ La racine carrée d'un nombre est le nombre positif dont le carré vaut ce nombre :

\sqrt{49}

7

;

7^{2}

49

x_{2} = \frac{- 17 + 7}{2}

ⓘ Le numérateur et le dénominateur se calculent avant la division :

- 17 + 7

-10

x_{2} = - \frac{10}{2}

ⓘ On simplifie la fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par

2

, leur plus grand diviseur commun :

- \frac{10}{2}

-5

x_{2} = -5

Le trinôme est du signe de a =

1

à l'extérieur de ses racines, donc il est bien positif à l'extérieur de ses racines ; les racines, où il s'annule, sont incluses.

▶Solution obtenue :

x \in] -∞; -12] \cup [-5; +∞ [