x^2+3x-12>0 — solution étape par étape

1) Résolvons dans

ℝ

x^{2} + 3 x - 12 > 0

Étant donné la forme quadratique

a x^{2} + b x + c

, calculons le discriminant :

Δ = b^{2} - 4 a c

. Ici

a = 1

b = 3

c = -12

Δ = 3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (-12)

ⓘ Les puissances se calculent avant les multiplications, les additions et les soustractions. Une puissance entière est un produit répété :

3^{2}

3 \cdot 3

9

Δ = 9 - 4 \cdot (-12)

ⓘ Les multiplications se font avant les additions et les soustractions. Deux signes moins s'annulent, le produit de deux nombres négatifs est positif :

- 4 \cdot (-12)

4 \cdot 12

4 \cdot (10 + 2)

4 \cdot 10 + 4 \cdot 2

40 + 8

48

Δ = 9 + 48

ⓘ On part de

9

et on avance de

48

sur la droite des nombres :

9 + 48

57

Δ = 57

Comme

Δ > 0

, l'équation a deux racines :

La formule du second degré donne

x_{1}

\frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- 3 - \sqrt{57}}{2 \cdot 1}

x_{1} = \frac{- 3 - \sqrt{57}}{2}

ⓘ On met le signe moins en facteur, en changeant le signe de chaque terme :

- 3 - \sqrt{57}

- (3 + \sqrt{57})

x_{1} = - \frac{3 + \sqrt{57}}{2}

La formule du second degré donne

x_{2}

\frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- 3 + \sqrt{57}}{2 \cdot 1}

x_{2} = \frac{- 3 + \sqrt{57}}{2}

Le trinôme est du signe de a =

1

à l'extérieur de ses racines, donc il est bien positif à l'extérieur de ses racines ; les racines, où il s'annule, sont exclues.

▶Solution trouvée :

x \in] -∞; - \frac{3 + \sqrt{57}}{2} [\cup] \frac{\sqrt{57} - 3}{2}; +∞ [

2) La valeur numérique de :

x \in] -∞; - \frac{3 + \sqrt{57}}{2} [\cup] \frac{\sqrt{57} - 3}{2}; +∞ [

vaut :

x \in] -∞; - \frac{3 + \approx 7,5498}{2} [\cup] \frac{\approx 7,5498 - 3}{2}; +∞ [

x \in] -∞; - \frac{\approx 10,5498}{2} [\cup] \frac{\approx 4,5498}{2}; +∞ [

▷

x \in] -∞; \approx -5,2749 [\cup] \approx 2,2749; +∞ [