x^2+4x-16=0 — solution étape par étape

1) Résolvons dans

ℝ

x^{2} + 4 x - 16 = 0

Vu la forme quadratique

a x^{2} + b x + c

, on calcule le discriminant :

Δ = b^{2} - 4 a c

. Ici

a = 1

b = 4

c = -16

Δ = 4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (-16)

ⓘ Les puissances se calculent avant les multiplications, les additions et les soustractions. Une puissance entière est un produit répété :

4^{2}

4 \cdot 4

16

Δ = 16 - 4 \cdot (-16)

ⓘ Les multiplications se font avant les additions et les soustractions. Deux signes moins s'annulent, le produit de deux nombres négatifs est positif :

- 4 \cdot (-16)

4 \cdot 16

4 \cdot (10 + 6)

4 \cdot 10 + 4 \cdot 6

40 + 24

64

Δ = 16 + 64

ⓘ On part de

16

et on avance de

64

sur la droite des nombres :

16 + 64

80

Δ = 80

Puisque

Δ > 0

, l'équation admet deux racines :

La formule du second degré donne

x_{1}

\frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- 4 - \sqrt{80}}{2 \cdot 1}

x_{1} = \frac{- 4 - \sqrt{80}}{2}

ⓘ On cherche le plus grand carré qui divise

80

16

4^{2}

, et on le sort de la racine :

\sqrt{80}

\sqrt{16 \cdot 5}

\sqrt{16} \cdot \sqrt{5}

4 \cdot \sqrt{5}

■On met le signe moins en facteur, en changeant le signe de chaque terme :

- 4 - 4 \cdot \sqrt{5}

- (4 + 4 \cdot \sqrt{5})

x_{1} = - \frac{4 + 4 \cdot \sqrt{5}}{2}

ⓘ On simplifie une fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par un même nombre :

- \frac{4 + 4 \cdot \sqrt{5}}{2}

- \frac{2 \cdot (2 + 2 \cdot \sqrt{5})}{2}

- (2 + 2 \cdot \sqrt{5})

x_{1} = - (2 + 2 \cdot \sqrt{5})

ⓘ Un signe moins devant une parenthèse change le signe de chacun de ses termes :

- (2 + 2 \cdot \sqrt{5})

- 2 - 2 \cdot \sqrt{5}

x_{1} = - 2 - 2 \cdot \sqrt{5}

La formule du second degré donne

x_{2}

\frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- 4 + \sqrt{80}}{2 \cdot 1}

x_{2} = \frac{- 4 + \sqrt{80}}{2}

ⓘ On cherche le plus grand carré qui divise

80

16

4^{2}

, et on le sort de la racine :

\sqrt{80}

\sqrt{16 \cdot 5}

\sqrt{16} \cdot \sqrt{5}

4 \cdot \sqrt{5}

x_{2} = \frac{- 4 + 4 \cdot \sqrt{5}}{2}

ⓘ On simplifie une fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par un même nombre :

\frac{- 4 + 4 \cdot \sqrt{5}}{2}

\frac{2 \cdot (- 2 + 2 \cdot \sqrt{5})}{2}

- 2 + 2 \cdot \sqrt{5}

x_{2} = - 2 + 2 \cdot \sqrt{5}

▶Solutions trouvées :

x = {- 2 \cdot \sqrt{5} - 2; 2 \cdot \sqrt{5} - 2}

2) La valeur numérique de :

x = {- 2 \cdot \sqrt{5} - 2; 2 \cdot \sqrt{5} - 2}

est :

x = {\approx - 2 \cdot 2,2361 - 2; \approx 2 \cdot 2,2361 - 2}

x = {\approx - 4,4721 - 2; \approx 4,4721 - 2}

▷

x = {\approx -6,4721; \approx 2,4721}