x^2+9x-9=0 — solution étape par étape

1) Résolvons dans

ℝ

x^{2} + 9 x - 9 = 0

Étant donné la forme quadratique

a x^{2} + b x + c

, calculons le discriminant :

Δ = b^{2} - 4 a c

. Ici

a = 1

b = 9

c = -9

Δ = 9^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (-9)

ⓘ Les puissances se calculent avant les multiplications, les additions et les soustractions. Une puissance entière est un produit répété :

9^{2}

9 \cdot 9

81

Δ = 81 - 4 \cdot (-9)

ⓘ Les multiplications se font avant les additions et les soustractions. Deux signes moins s'annulent, le produit de deux nombres négatifs est positif :

- 4 \cdot (-9)

36

Δ = 81 + 36

ⓘ On part de

81

et on avance de

36

sur la droite des nombres :

81 + 36

117

Δ = 117

Comme

Δ > 0

, l'équation a deux racines :

La formule du second degré donne

x_{1}

\frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- 9 - \sqrt{117}}{2 \cdot 1}

x_{1} = \frac{- 9 - \sqrt{117}}{2}

ⓘ On cherche le plus grand carré qui divise

117

9

3^{2}

, et on le sort de la racine :

\sqrt{117}

\sqrt{9 \cdot 13}

\sqrt{9} \cdot \sqrt{13}

3 \cdot \sqrt{13}

■On met le signe moins en facteur, en changeant le signe de chaque terme :

- 9 - 3 \cdot \sqrt{13}

- (9 + 3 \cdot \sqrt{13})

x_{1} = - \frac{9 + 3 \cdot \sqrt{13}}{2}

La formule du second degré donne

x_{2}

\frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- 9 + \sqrt{117}}{2 \cdot 1}

x_{2} = \frac{- 9 + \sqrt{117}}{2}

ⓘ On cherche le plus grand carré qui divise

117

9

3^{2}

, et on le sort de la racine :

\sqrt{117}

\sqrt{9 \cdot 13}

\sqrt{9} \cdot \sqrt{13}

3 \cdot \sqrt{13}

x_{2} = \frac{- 9 + 3 \cdot \sqrt{13}}{2}

▶Solutions obtenues :

x = {- \frac{9 + 3 \cdot \sqrt{13}}{2}; \frac{3 \cdot \sqrt{13} - 9}{2}}

2) La valeur numérique de :

x = {- \frac{9 + 3 \cdot \sqrt{13}}{2}; \frac{3 \cdot \sqrt{13} - 9}{2}}

vaut :

x = {\approx - \frac{9 + 3 \cdot 3,6056}{2}; \approx \frac{3 \cdot 3,6056 - 9}{2}}

x = {\approx - \frac{9 + 10,8167}{2}; \approx \frac{10,8167 - 9}{2}}

x = {\approx - \frac{19,8167}{2}; \approx \frac{1,8167}{2}}

▷

x = {\approx -9,9083; \approx 0,9083}