x^2+(-(3x)/7)^2=16 — solution étape par étape

1) Résolvons dans

ℝ

x^{2} + {(- \frac{3 x}{7})}^{2} = 16

ⓘ Les puissances se calculent avant les multiplications, les additions et les soustractions. Avec un exposant entier pair, le signe moins dans la base disparaît ; avec un exposant entier impair, il passe devant la puissance :

{(- \frac{3 x}{7})}^{2}

{(\frac{3 x}{7})}^{2}

x^{2} + {(\frac{3 x}{7})}^{2} = 16

ⓘ On soustrait

16

aux deux membres

x^{2} + {(\frac{3 x}{7})}^{2} - 16 = 0

ⓘ La puissance d'un quotient est le quotient des puissances, (a/b)^n = a^n/b^n :

{(\frac{3 x}{7})}^{2}

\frac{{(3 x)}^{2}}{7^{2}}

x^{2} + \frac{{(3 x)}^{2}}{7^{2}} - 16 = 0

ⓘ Les puissances se calculent avant les multiplications, les additions et les soustractions. Une puissance entière est un produit répété :

7^{2}

7 \cdot 7

49

x^{2} + \frac{{(3 x)}^{2}}{49} - 16 = 0

ⓘ La puissance d'un produit est le produit des puissances :

{(3 x)}^{2}

3^{2} \cdot x^{2}

x^{2} + \frac{3^{2} \cdot x^{2}}{49} - 16 = 0

ⓘ Les puissances se calculent avant les multiplications, les additions et les soustractions. Une puissance entière est un produit répété :

3^{2}

3 \cdot 3

9

x^{2} + \frac{9 x^{2}}{49} - 16 = 0

ⓘ On regroupe les termes semblables en additionnant leurs coefficients :

x^{2} + \frac{9 x^{2}}{49}

\frac{58 x^{2}}{49}

\frac{58 x^{2}}{49} - 16 = 0

Comme

2 \neq 0

, on divise les deux membres par

2

\frac{29 x^{2}}{49} - 8 = 0

Vu la forme quadratique

a x^{2} + b x + c

, on calcule le discriminant :

Δ = b^{2} - 4 a c

. Ici

a = 29 \cdot \frac{1}{49}

b = 0

c = -8

Δ = 0^{2} - 4 \cdot 29 \cdot \frac{1}{49} \cdot (-8)

ⓘ Additionner 0 ne change rien :

0 - 4 \cdot 29 \cdot \frac{1}{49} \cdot (-8)

- 4 \cdot 29 \cdot \frac{1}{49} \cdot (-8)

■Deux signes moins s'annulent, le produit de deux nombres négatifs est positif :

-4 \cdot (-8)

4 \cdot 8

Δ = 4 \cdot 29 \cdot \frac{1}{49} \cdot 8

ⓘ Multiplier une fraction par un nombre revient à multiplier son numérateur :

116 \cdot \frac{1}{49} \cdot 8

\frac{116 \cdot 1 \cdot 8}{49}

\frac{116 \cdot 8}{49}

ⅰ

4 \cdot 29

4 \cdot (20 + 9)

4 \cdot 20 + 4 \cdot 9

80 + 36

116

Δ = \frac{116 \cdot 8}{49}

ⅰ

116 \cdot 8

(100 + 10 + 6) \cdot 8

100 \cdot 8 + 10 \cdot 8 + 6 \cdot 8

800 + 80 + 48

928

Δ = \frac{928}{49}

Puisque

Δ > 0

, l'équation admet deux racines :

La formule du second degré donne

x_{1}

\frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- 0 - \sqrt{\frac{928}{49}}}{2 \cdot 29 \cdot \frac{1}{49}}

x_{1} = - \frac{\sqrt{\frac{928}{49}}}{2 \cdot 29 \cdot \frac{1}{49}}

ⓘ Multiplier une fraction par un nombre revient à multiplier son numérateur :

58 \cdot \frac{1}{49}

\frac{58 \cdot 1}{49}

\frac{58}{49}

ⅰ

2 \cdot 29

2 \cdot (20 + 9)

2 \cdot 20 + 2 \cdot 9

40 + 18

58

x_{1} = - \frac{\sqrt{\frac{928}{49}}}{\frac{58}{49}}

ⓘ Diviser revient à multiplier par l'inverse :

- \frac{\sqrt{\frac{928}{49}}}{\frac{58}{49}}

- \sqrt{\frac{928}{49}} \cdot \frac{49}{58}

x_{1} = - \sqrt{\frac{928}{49}} \cdot \frac{49}{58}

ⓘ Multiplier une fraction par un terme revient à multiplier son numérateur :

- \sqrt{\frac{928}{49}} \cdot \frac{49}{58}

- \frac{\sqrt{\frac{928}{49}} \cdot 49}{58}

x_{1} = - \frac{\sqrt{\frac{928}{49}} \cdot 49}{58}

ⓘ La racine d'un quotient est le quotient des racines, sqrt(a/b) = sqrt(a)/sqrt(b) :

\sqrt{\frac{928}{49}}

\frac{\sqrt{928}}{\sqrt{49}}

x_{1} = - \frac{\frac{\sqrt{928}}{\sqrt{49}} \cdot 49}{58}

ⓘ On cherche le plus grand carré qui divise

928

16

4^{2}

, et on le sort de la racine :

\sqrt{928}

\sqrt{16 \cdot 58}

\sqrt{16} \cdot \sqrt{58}

4 \cdot \sqrt{58}

■La racine carrée d'un nombre est le nombre positif dont le carré vaut ce nombre :

\sqrt{49}

7

;

7^{2}

49

x_{1} = - \frac{\frac{4 \cdot \sqrt{58}}{7} \cdot 49}{58}

ⓘ Multiplier une fraction par un nombre revient à multiplier son numérateur :

\frac{4 \cdot \sqrt{58}}{7} \cdot 49

\frac{4 \cdot \sqrt{58} \cdot 49}{7}

\frac{196 \cdot \sqrt{58}}{7}

x_{1} = - \frac{\frac{196 \cdot \sqrt{58}}{7}}{58}

ⓘ Diviser une fraction par

58

revient à multiplier son dénominateur par

58

- \frac{\frac{196 \cdot \sqrt{58}}{7}}{58}

- \frac{196 \cdot \sqrt{58}}{7 \cdot 58}

■On simplifie une fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par un même nombre :

- \frac{196 \cdot \sqrt{58}}{7 \cdot 58}

- \frac{28 \cdot \sqrt{58}}{58}

x_{1} = - \frac{28 \cdot \sqrt{58}}{58}

ⓘ On simplifie une fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par un même nombre :

- \frac{28 \cdot \sqrt{58}}{58}

- \frac{14 \cdot \sqrt{58}}{29}

x_{1} = - \frac{14 \cdot \sqrt{58}}{29}

La formule du second degré donne

x_{2}

\frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- 0 + \sqrt{\frac{928}{49}}}{2 \cdot 29 \cdot \frac{1}{49}}

x_{2} = \frac{\sqrt{\frac{928}{49}}}{2 \cdot 29 \cdot \frac{1}{49}}

ⓘ Multiplier une fraction par un nombre revient à multiplier son numérateur :

58 \cdot \frac{1}{49}

\frac{58 \cdot 1}{49}

\frac{58}{49}

ⅰ

2 \cdot 29

2 \cdot (20 + 9)

2 \cdot 20 + 2 \cdot 9

40 + 18

58

x_{2} = \frac{\sqrt{\frac{928}{49}}}{\frac{58}{49}}

ⓘ Diviser revient à multiplier par l'inverse :

\frac{\sqrt{\frac{928}{49}}}{\frac{58}{49}}

\sqrt{\frac{928}{49}} \cdot \frac{49}{58}

x_{2} = \sqrt{\frac{928}{49}} \cdot \frac{49}{58}

ⓘ Multiplier une fraction par un terme revient à multiplier son numérateur :

\sqrt{\frac{928}{49}} \cdot \frac{49}{58}

\frac{\sqrt{\frac{928}{49}} \cdot 49}{58}

x_{2} = \frac{\sqrt{\frac{928}{49}} \cdot 49}{58}

ⓘ La racine d'un quotient est le quotient des racines, sqrt(a/b) = sqrt(a)/sqrt(b) :

\sqrt{\frac{928}{49}}

\frac{\sqrt{928}}{\sqrt{49}}

x_{2} = \frac{\frac{\sqrt{928}}{\sqrt{49}} \cdot 49}{58}

ⓘ On cherche le plus grand carré qui divise

928

16

4^{2}

, et on le sort de la racine :

\sqrt{928}

\sqrt{16 \cdot 58}

\sqrt{16} \cdot \sqrt{58}

4 \cdot \sqrt{58}

■La racine carrée d'un nombre est le nombre positif dont le carré vaut ce nombre :

\sqrt{49}

7

;

7^{2}

49

x_{2} = \frac{\frac{4 \cdot \sqrt{58}}{7} \cdot 49}{58}

ⓘ Multiplier une fraction par un nombre revient à multiplier son numérateur :

\frac{4 \cdot \sqrt{58}}{7} \cdot 49

\frac{4 \cdot \sqrt{58} \cdot 49}{7}

\frac{196 \cdot \sqrt{58}}{7}

x_{2} = \frac{\frac{196 \cdot \sqrt{58}}{7}}{58}

ⓘ Diviser une fraction par

58

revient à multiplier son dénominateur par

58

\frac{\frac{196 \cdot \sqrt{58}}{7}}{58}

\frac{196 \cdot \sqrt{58}}{7 \cdot 58}

■On simplifie une fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par un même nombre :

\frac{196 \cdot \sqrt{58}}{7 \cdot 58}

\frac{28 \cdot \sqrt{58}}{58}

x_{2} = \frac{28 \cdot \sqrt{58}}{58}

ⓘ On simplifie une fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par un même nombre :

\frac{28 \cdot \sqrt{58}}{58}

\frac{14 \cdot \sqrt{58}}{29}

x_{2} = \frac{14 \cdot \sqrt{58}}{29}

▶Solutions obtenues :

x = {- \frac{14 \cdot \sqrt{58}}{29}; \frac{14 \cdot \sqrt{58}}{29}}

2) La valeur numérique de :

x = {- \frac{14 \cdot \sqrt{58}}{29}; \frac{14 \cdot \sqrt{58}}{29}}

vaut :

x = {\approx - \frac{14 \cdot 7,6158}{29}; \approx \frac{14 \cdot 7,6158}{29}}

x = {\approx - \frac{106,6208}{29}; \approx \frac{106,6208}{29}}

▷

x = {\approx -3,6766; \approx 3,6766}