x^3>2x+x^2 — solution étape par étape

1) Résolvons dans

ℝ

x^{3} > 2 x + x^{2}

On peut mettre l'expression :

x^{3} - x^{2} - 2 x

en facteurs :

x \cdot (x^{2} - x - 2)

On étudie le signe de chaque facteur du produit

⇥L'expression

x

s'annule en

x = 0

, elle est négative avant et positive après

Étudions le signe de

x^{2} - x - 2

en élargissant le signe à ≥ et en résolvant dans

ℝ

x^{2} - x - 2 \geq 0

Étant donné la forme quadratique

a x^{2} + b x + c

, calculons le discriminant :

Δ = b^{2} - 4 a c

. Ici

a = 1

b = -1

c = -2

Δ = {(-1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (-2)

ⓘ Les puissances se calculent avant les multiplications, les additions et les soustractions. Une puissance entière est un produit répété :

{(-1)}^{2}

(-1) \cdot (-1)

1

Δ = 1 - 4 \cdot (-2)

ⓘ Les multiplications se font avant les additions et les soustractions. Deux signes moins s'annulent, le produit de deux nombres négatifs est positif :

- 4 \cdot (-2)

8

Δ = 1 + 8

ⓘ On part de

1

et on avance de

8

sur la droite des nombres :

1 + 8

9

Δ = 9

Puisque

Δ > 0

, l'équation admet deux racines :

La formule du second degré donne

x_{1}

\frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- (-1) - \sqrt{9}}{2 \cdot 1}

x_{1} = \frac{1 - \sqrt{9}}{2}

ⓘ La racine carrée d'un nombre est le nombre positif dont le carré vaut ce nombre :

\sqrt{9}

3

;

3^{2}

9

x_{1} = \frac{1 - 3}{2}

ⓘ Le numérateur et le dénominateur se calculent avant la division :

1 - 3

-2

x_{1} = - \frac{2}{2}

ⓘ On simplifie la fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par

2

, leur plus grand diviseur commun :

- \frac{2}{2}

-1

x_{1} = -1

La formule du second degré donne

x_{2}

\frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- (-1) + \sqrt{9}}{2 \cdot 1}

x_{2} = \frac{1 + \sqrt{9}}{2}

ⓘ La racine carrée d'un nombre est le nombre positif dont le carré vaut ce nombre :

\sqrt{9}

3

;

3^{2}

9

x_{2} = \frac{1 + 3}{2}

ⓘ Le numérateur et le dénominateur se calculent avant la division :

1 + 3

4

x_{2} = \frac{4}{2}

ⓘ On simplifie la fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par

2

, leur plus grand diviseur commun :

\frac{4}{2}

2

x_{2} = 2

Le trinôme est du signe de a =

1

à l'extérieur de ses racines, donc il est bien positif à l'extérieur de ses racines ; les racines, où il s'annule, sont incluses.

Solution trouvée :

x \in] -∞; -1] \cup [2; +∞ [

⇥Donc l'expression

x^{2} - x - 2

est positive ou nulle sur

] -∞; -1] \cup [2; +∞ [

et négative sinon

2) Dressons le tableau de signes :

x	$-∞$		$-1$		$0$		$2$		$+∞$
$x$		-		-	0	+		+
$x^{2} - x - 2$		+	0	-		-	0	+
$x^{3} - (2 x + x^{2})$		-	0	+	0	-	0	+

▶Solution obtenue :

x \in] -1; 0 [\cup] 2; +∞ [