x^4>36x^2 — solution étape par étape | Explain MAths

x^4>36x^2

1) Résolvons dans

ℝ

:

x^{4} > 36 x^{2}

x^{4} - 36 x^{2} > 0

Pour

x^{4} - 36 x^{2}

, on reconnaît une différence de deux carrés :

{(x^{2})}^{2} - {(6 x)}^{2}

. On applique

a^{2} - b^{2} = (a - b) \cdot (a + b)

, avec

a = x^{2}

et

b = 6 x

On peut écrire l'expression :

x^{4} - 36 x^{2}

sous la forme factorisée :

(x^{2} - 6 x) \cdot (x^{2} + 6 x)

2) Résolvons dans

ℝ

:

(x^{2} - 6 x) \cdot (x^{2} + 6 x) > 0

On étudie le signe de chaque facteur du produit

⇥2.1) Étudions le signe de

x^{2} - 6 x

en élargissant le signe à ≥ et en résolvant dans

ℝ

:

x^{2} - 6 x \geq 0

⇥On peut factoriser l'expression en :

x \cdot (x - 6)

⇥On étudie le signe de chaque facteur du produit

⇥⇥L'expression

x

s'annule en

x = 0

, elle est négative avant et positive après

⇥⇥L'expression

x - 6

s'annule en

x = 6

, elle est négative avant et positive après

⇥2.2) Étudions le signe de

x^{2} + 6 x

en élargissant le signe à ≥ et en résolvant dans

ℝ

:

x^{2} + 6 x \geq 0

⇥L'expression peut être factorisée en :

x \cdot (x + 6)

⇥On étudie le signe de chaque facteur du produit

⇥⇥L'expression

x

s'annule en

x = 0

, elle est négative avant et positive après

⇥⇥L'expression

x + 6

s'annule en

x = -6

, elle est négative avant et positive après

3) Dressons le tableau de signes :

x	$-∞$		$-6$		$0$		$6$		$+∞$
$x$		-		-	0	+		+
$x - 6$		-		-		-	0	+
$x$		-		-	0	+		+
$x + 6$		-	0	+		+		+
$x^{4} - 36 x^{2}$		+	0	-	0	-	0	+

▶Solution obtenue :

x \in] -∞; -6 [\cup] 6; +∞ [