x^4+4x^3-4x^2+4x-5<0 — solution étape par étape

1) Résolvons dans

ℝ

x^{4}

+ 4 x^{3}

- 4 x^{2}

+ 4 x

- 5 < 0

⇥1.1) Essayons d'abord la valeur évidente :

x = 1

⇥Évaluons la valeur de :

1^{4}

+ 4 \cdot 1^{3}

- 4 \cdot 1^{2}

+ 4 \cdot 1

- 5

⇥

1

+ 4

- 4

+ 4

- 5

⇥ⓘ On part de

4

et on recule de

4

sur la droite des nombres, jusqu'à zéro :

4 - 4

0

⇥

1

+ 0

+ 4

- 5

⇥ⓘ Additionner 0 ne change rien :

0 + 4

4

■On part de

1

et on avance de

4

sur la droite des nombres :

1 + 4

5

⇥

5 - 5

⇥ⓘ On part de

5

et on recule de

5

sur la droite des nombres, jusqu'à zéro :

5 - 5

0

⇥

0

⇥Solution trouvée :

x = 1

⇥1.2) Effectuons la division euclidienne :

(x^{4}

+ 4 x^{3}

- 4 x^{2}

+ 4 x

- 5)

(x - 1)

⇥

Expression en cours	Division des termes principaux	Quotient	Quotient × diviseur	Reste après soustraction
$x^{4}$ $+ 4 x^{3}$ $- 4 x^{2}$ $+ 4 x$ $- 5$	$\frac{x^{4}}{x}$	$x^{3}$	$x^{3} \cdot (x - 1) = x^{4} - x^{3}$	$(x^{4}$ $+ 4 x^{3}$ $- 4 x^{2}$ $+ 4 x$ $- 5) - (x^{4} - x^{3}) = 5 x^{3}$ $- 4 x^{2}$ $+ 4 x$ $- 5$
$5 x^{3}$ $- 4 x^{2}$ $+ 4 x$ $- 5$	$\frac{5 x^{3}}{x}$	$5 x^{2}$	$5 x^{2} \cdot (x - 1) = 5 x^{3} - 5 x^{2}$	$(5 x^{3}$ $- 4 x^{2}$ $+ 4 x$ $- 5) - (5 x^{3} - 5 x^{2}) = x^{2} + 4 x - 5$
$x^{2} + 4 x - 5$	$\frac{x^{2}}{x}$	$x$	$x \cdot (x - 1) = x^{2} - x$	$(x^{2} + 4 x - 5) - (x^{2} - x) = 5 x - 5$
$5 x - 5$	$\frac{5 x}{x}$	$5$	$5 \cdot (x - 1) = 5 x - 5$	$(5 x - 5) - (5 x - 5) = 0$

⇥Donc le résultat de la division euclidienne est :

x^{3}

+ 5 x^{2}

+ x

+ 5

(x - 1) \cdot (x^{3}

+ 5 x^{2}

+ x

+ 5)

On étudie le signe de chaque facteur du produit

⇥L'expression

x - 1

s'annule en

x = 1

, elle est négative avant et positive après

⇥1.3) Étudions le signe de

x^{3}

+ 5 x^{2}

+ x

+ 5

en élargissant le signe à ≤ et en résolvant dans

ℝ

x^{3}

+ 5 x^{2}

+ x

+ 5 \leq 0

⇥⇥1.3.1) Essayons d'abord la valeur évidente :

x = -5

⇥⇥Évaluons la valeur de :

{(-5)}^{3}

+ 5 \cdot {(-5)}^{2}

- 5

+ 5

⇥⇥ⓘ Les puissances se calculent avant les multiplications, les additions et les soustractions. Une puissance entière est un produit répété :

{(-5)}^{3}

(-5) \cdot (-5) \cdot (-5)

-125

{(-5)}^{2}

(-5) \cdot (-5)

25

■On part de

-5

et on avance de

5

sur la droite des nombres, jusqu'à zéro :

- 5 + 5

0

⇥⇥

- 125 + 5 \cdot 25 + 0

⇥⇥ⓘ Additionner 0 ne change rien :

5 \cdot 25 + 0

5 \cdot 25

■Les multiplications se font avant les additions et les soustractions :

5 \cdot 25

5 \cdot (20 + 5)

5 \cdot 20 + 5 \cdot 5

100 + 25

125

⇥⇥

- 125 + 125

⇥⇥ⓘ On part de

-125

et on avance de

125

sur la droite des nombres, jusqu'à zéro :

- 125 + 125

0

⇥⇥

0

⇥⇥Solution trouvée :

x = -5

⇥⇥1.3.2) Commençons la division euclidienne de

(x^{3}

+ 5 x^{2}

+ x

+ 5)

par

(x + 5)

⇥⇥

Expression en cours	Division des termes principaux	Quotient	Quotient × diviseur	Reste après soustraction
$x^{3}$ $+ 5 x^{2}$ $+ x$ $+ 5$	$\frac{x^{3}}{x}$	$x^{2}$	$x^{2} \cdot (x + 5) = x^{3} + 5 x^{2}$	$(x^{3}$ $+ 5 x^{2}$ $+ x$ $+ 5) - (x^{3} + 5 x^{2}) = x + 5$
$x + 5$	$\frac{x}{x}$	$1$	$x + 5 = x + 5$	$(x + 5) - (x + 5) = 0$

⇥⇥Ainsi, le résultat de la division euclidienne est :

x^{2} + 1

⇥ⅰ

x^{3}

+ 5 x^{2}

+ x

+ 5

(x + 5) \cdot (x^{2} + 1)

⇥

(x + 5) \cdot (x^{2} + 1)

⇥On étudie le signe de chaque facteur du produit

⇥⇥L'expression

x + 5

s'annule en

x = -5

, elle est négative avant et positive après

⇥⇥1.3.3) Étudions le signe de

x^{2} + 1

en résolvant dans

ℝ

x^{2} + 1 \leq 0

⇥⇥Dans ℝ, une puissance paire n'est jamais négative :

x^{2} \leq -1

n'a pas de solution

⇥⇥Solution :

x \in \emptyset

⇥⇥Donc l'expression

x^{2} + 1

est toujours positive

2) Dressons le tableau de signes :

x	$-∞$		$-5$		$1$		$+∞$
$x - 1$		-		-	0	+
$x + 5$		-	0	+		+
$x^{2} + 1$		+		+		+
$x^{4}$ $+ 4 x^{3}$ $- 4 x^{2}$ $+ 4 x$ $- 5$		+	0	-	0	+

▶Solution trouvée :

x \in] -5; 1 [