xydx-(1+x^2)dy=0 — solution étape par étape

⚠ xydx-(1+x^2)dy = 0 est lu comme l'équation différentielle y' = (xy)/(1+x^2) : on divise par dx et on isole y', dérivée de y par rapport à x■xy est lu comme le produit x*y : pour la variable xy, écrivez xy_

1) Résolvons l'équation séparable

y' = \frac{x y}{1 + x^{2}}

, où

y

est une fonction de

x

Avant de diviser,

y = 0

donne la solution d'équilibre

y = 0

Sur les intervalles où

y \neq 0

, on sépare les variables :

\frac{dy}{y} = \frac{x}{x^{2} + 1} \cdot dx

⇥1.1) Calculons l'intégrale :

\int \frac{1}{y} d y

⇥ⓘ La dérivée de

\ln | y |

est

\frac{1}{y}

, donc

\ln | y |

est une primitive de

\frac{1}{y}

\int \frac{1}{y} d y

\ln | y |

⇥

\ln | y |

⇥1.2) Intégrons :

\int \frac{x}{x^{2} + 1} d x

⇥Pour l'expression mathématique :

\frac{x}{x^{2} + 1}

, sachant que (ln(a))' = a'/a, on tente de dériver

\ln (x^{2} + 1)

⇥1.3) Effectuons la dérivation :

\frac{d}{d x} (\ln (x^{2} + 1))

⇥On utilise la formule de dérivation :

\frac{d}{d x} (\ln (f)) = \frac{d}{d x} (f) \cdot \frac{1}{f}

avec f =

x^{2} + 1

⇥ⓘ La dérivée de ln(x) est 1/x :

\frac{d}{d x} (\ln (x^{2} + 1))

\frac{d}{d x} (x^{2} + 1) \cdot \frac{1}{x^{2} + 1}

⇥

\frac{d}{d x} (x^{2} + 1) \cdot \frac{1}{x^{2} + 1}

⇥ⓘ Multiplier une fraction par un terme revient à multiplier son numérateur :

\frac{d}{d x} (x^{2} + 1) \cdot \frac{1}{x^{2} + 1}

\frac{\frac{d}{d x} (x^{2} + 1) \cdot 1}{x^{2} + 1}

\frac{\frac{d}{d x} (x^{2} + 1)}{x^{2} + 1}

■La dérivée d'une somme est la somme des dérivées :

\frac{d}{d x} (x^{2} + 1)

\frac{d}{d x} (x^{2}) + 0

⇥

\frac{\frac{d}{d x} (x^{2}) + 0}{x^{2} + 1}

⇥ⓘ Additionner 0 ne change rien :

\frac{d}{d x} (x^{2}) + 0

\frac{d}{d x} (x^{2})

■La dérivée de x^n est n*x^(n-1) :

\frac{d}{d x} (x^{2})

2 x

⇥

\frac{2 x}{x^{2} + 1}

⇥La dérivée obtenue correspond à l'expression mathématique de départ à un facteur près. Donc l'intégrale est :

⇥ⓘ La dérivée de

\frac{1}{2} \cdot \ln (x^{2} + 1)

est

\frac{x}{x^{2} + 1}

, donc

\frac{1}{2} \cdot \ln (x^{2} + 1)

est une primitive de

\frac{x}{x^{2} + 1}

\int \frac{x}{x^{2} + 1} d x

\frac{1}{2} \cdot \ln (x^{2} + 1)

⇥

\frac{1}{2} \cdot \ln (x^{2} + 1)

⇥ⓘ Multiplier une fraction par un terme revient à multiplier son numérateur :

\frac{1}{2} \cdot \ln (x^{2} + 1)

\frac{1 \cdot \ln (x^{2} + 1)}{2}

\frac{\ln (x^{2} + 1)}{2}

⇥

\frac{\ln (x^{2} + 1)}{2}

En intégrant les deux membres, on obtient

\ln | y | = \frac{\ln (x^{2} + 1)}{2} + C

, où

C

est une constante réelle arbitraire

On prend l'exponentielle :

| y | = \exp (C) \exp (\frac{\ln (x^{2} + 1)}{2})

\exp (C) \cdot \sqrt{x^{2} + 1}

, d'où

y = K \cdot \sqrt{x^{2} + 1}

avec

K

= ±

\exp (C)

, une constante réelle non nulle

K = 0

redonne la solution d'équilibre

y = 0

: les solutions sont

y = K \cdot \sqrt{x^{2} + 1}

, où

K

est une constante réelle arbitraire

▶Solution :

y = K \cdot \sqrt{x^{2} + 1}