y=x^2-6x+8 — solution étape par étape

On sauvegarde la définition :

y = x^{2} - 6 x + 8

Étudions la fonction

y (x) = x^{2} - 6 x + 8

1) Évaluons le domaine de

x^{2} - 6 x + 8

ⓘ Cette expression n'impose aucune restriction sur la variable réelle

Domaine de définition :

x \in ℝ

2) Étudions la parité de

x^{2} - 6 x + 8

par rapport à

x

Le domaine est

x \in ℝ

Ce domaine est symétrique par rapport à 0 : si

x

est dans le domaine, -

x

y est aussi

On remplace

x

par -

x

: y(-

x

) =

{(- x)}^{2} - 6 \cdot (- x) + 8

Évaluons :

{(- x)}^{2} - 6 \cdot (- x) + 8

ⓘ Les puissances se calculent avant les multiplications, les additions et les soustractions. Avec un exposant entier pair, le signe moins dans la base disparaît ; avec un exposant entier impair, il passe devant la puissance :

{(- x)}^{2}

x^{2}

■Deux signes moins s'annulent :

-6 \cdot (- x)

6 x

x^{2} + 6 x + 8

y(-

x

) - y(

x

) =

12 x

et y(-

x

) + y(

x

) =

2 x^{2} + 16

sont des polynômes non nuls : la fonction n'est ni paire ni impaire

Parité : ni paire ni impaire

3) Dérivabilité

⇥ⓘ La dérivée d'une somme est la somme des dérivées :

\frac{d}{d x} (x^{2} - 6 x + 8)

\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 6 x) + 0

⇥

\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 6 x) + 0

Dérivée :

2 x - 6

4) Étudions les variations de

y (x)

: cherchons d'abord où sa dérivée

y^{'} (x) = 2 x - 6

s'annule

Résolvons dans

ℝ

2 x - 6 = 0

ⓘ On ajoute

6

aux deux membres

2 x = 6

ⓘ On divise les deux membres par

2

x = \frac{6}{2}

ⓘ On simplifie la fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par

2

, leur plus grand diviseur commun :

\frac{6}{2}

3

Solution obtenue :

x = 3

y^{'} (x)

s'annule en

x = 3

Formée de fonctions usuelles,

y^{'} (x)

est continue là où elle est définie : sur chaque intervalle où elle ne s'annule pas, elle garde le signe de sa valeur en un point

y^{'} (0) = -6

< 0 :

y

est décroissante sur

] -∞; 3 [

y^{'} (4) = 2

> 0 :

y

est croissante sur

] 3; +∞ [

Calculons les valeurs de

y

aux bornes du tableau, ou ses limites aux bornes infinies ou exclues

Quand

x

tend vers

-∞

y (x)

tend vers

+∞

y (3) = 3^{2} - 6 \cdot 3 + 8 = -1

Quand

x

tend vers

+∞

y (x)

tend vers

+∞

Dressons le tableau de variations :

$x$	$-∞$		$3$		$+∞$
$y^{'} (x)$		-	$0$	+
$y (x)$	$+∞$	↘	$-1$	↗	$+∞$

Donc

y

est décroissante sur

] -∞; 3]

et croissante sur

[3; +∞ [

5) Lisons l'ensemble image dans le tableau de variations

⇥Sur

ℝ

y

est continue : elle prend toutes les valeurs de

[-1; +∞ [

Ensemble image :

[-1; +∞ [

6) Sur l'axe des abscisses, y = 0 : résolvons

x^{2} - 6 x + 8 = 0

Résolvons dans

ℝ

x^{2} - 6 x + 8 = 0

Vu la forme quadratique

a x^{2} + b x + c

, on calcule le discriminant :

Δ = b^{2} - 4 a c

. Ici

a = 1

b = -6

c = 8

Δ = {(-6)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 8

ⓘ Les puissances se calculent avant les multiplications, les additions et les soustractions. Une puissance entière est un produit répété :

{(-6)}^{2}

(-6) \cdot (-6)

36

Δ = 36 - 4 \cdot 8

ⓘ Les multiplications se font avant les additions et les soustractions :

4 \cdot 8

32

Δ = 36 - 32

ⓘ On part de

36

et on recule de

32

sur la droite des nombres :

36 - 32

4

Δ = 4

Comme

Δ > 0

, l'équation a deux racines :

La formule du second degré donne

x_{1}

\frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- (-6) - \sqrt{4}}{2 \cdot 1}

x_{1} = \frac{6 - \sqrt{4}}{2}

ⓘ La racine carrée d'un nombre est le nombre positif dont le carré vaut ce nombre :

\sqrt{4}

2

;

2^{2}

4

x_{1} = \frac{6 - 2}{2}

ⓘ Le numérateur et le dénominateur se calculent avant la division :

6 - 2

4

x_{1} = \frac{4}{2}

ⓘ On simplifie la fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par

2

, leur plus grand diviseur commun :

\frac{4}{2}

2

x_{1} = 2

La formule du second degré donne

x_{2}

\frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- (-6) + \sqrt{4}}{2 \cdot 1}

x_{2} = \frac{6 + \sqrt{4}}{2}

ⓘ La racine carrée d'un nombre est le nombre positif dont le carré vaut ce nombre :

\sqrt{4}

2

;

2^{2}

4

x_{2} = \frac{6 + 2}{2}

ⓘ Le numérateur et le dénominateur se calculent avant la division :

6 + 2

8

x_{2} = \frac{8}{2}

ⓘ On simplifie la fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par

2

, leur plus grand diviseur commun :

\frac{8}{2}

4

x_{2} = 4

Solutions trouvées :

x = {2; 4}

Sur l'axe des ordonnées, x = 0 : calculons f(0)

⇥

0^{2} - 6 \cdot 0 + 8

⇥ⓘ Un produit dont un facteur est nul est nul :

-6 \cdot 0

0

■Additionner 0 ne change rien :

0 + 8

8

⇥

0 + 8

⇥ⓘ Additionner 0 ne change rien :

0 + 8

8

⇥

8

Intersections avec les axes :

{(2; 0); (4; 0); (0; 8)}

7) Cherchons les asymptotes de

x^{2} - 6 x + 8

, pour

x

réel

x^{2} - 6 x + 8

est un polynôme de degré

2

: il est défini sur ℝ et

\frac{f (x)}{x}

tend vers l'infini en -∞ et en +∞, aucune droite ne s'approche de sa courbe

La fonction n'a donc aucune asymptote

🖼/draw?f1=x%5E2+-+6*x+%2B+8&v=x&b=-10.0&e=10.0&min=-12.0&max=132.0

Asymptotes :

\emptyset

▶Étude de $y (x)$ : Domaine de définition : $x \in ℝ$ ; Parité : ni paire ni impaire ; Dérivée : $2 x - 6$ ; Ensemble image : $[-1; +∞ [$ ; Intersections avec les axes : ${(2; 0); (4; 0); (0; 8)}$ ; Asymptotes : $\emptyset$