y-5=y^2-y-9 — solution étape par étape

1) Résolvons dans

ℝ

y - 5 = y^{2} - y - 9

y

- 5

- y^{2}

+ y

+ 9 = 0

ⓘ On part de

-5

et on avance de

9

sur la droite des nombres, en dépassant zéro :

- 5 + 9

4

■On regroupe les termes semblables en additionnant leurs coefficients :

y + y

2 y

2 y + 4 - y^{2} = 0

- y^{2} + 2 y + 4 = 0

Comme

-1 \neq 0

, on divise les deux membres par

-1

y^{2} - 2 y - 4 = 0

Étant donné la forme quadratique

a y^{2} + b y + c

, calculons le discriminant :

Δ = b^{2} - 4 a c

. Ici

a = 1

b = -2

c = -4

Δ = {(-2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (-4)

ⓘ Les puissances se calculent avant les multiplications, les additions et les soustractions. Une puissance entière est un produit répété :

{(-2)}^{2}

(-2) \cdot (-2)

4

Δ = 4 - 4 \cdot (-4)

ⓘ Les multiplications se font avant les additions et les soustractions. Deux signes moins s'annulent, le produit de deux nombres négatifs est positif :

- 4 \cdot (-4)

16

Δ = 4 + 16

ⓘ On part de

4

et on avance de

16

sur la droite des nombres :

4 + 16

20

Δ = 20

Puisque

Δ > 0

, l'équation admet deux racines :

La formule du second degré donne

y_{1}

\frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- (-2) - \sqrt{20}}{2 \cdot 1}

y_{1} = \frac{2 - \sqrt{20}}{2}

ⓘ On cherche le plus grand carré qui divise

20

4

2^{2}

, et on le sort de la racine :

\sqrt{20}

\sqrt{4 \cdot 5}

\sqrt{4} \cdot \sqrt{5}

2 \cdot \sqrt{5}

y_{1} = \frac{2 - 2 \cdot \sqrt{5}}{2}

ⓘ On simplifie une fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par un même nombre :

\frac{2 - 2 \cdot \sqrt{5}}{2}

\frac{2 \cdot (1 - \sqrt{5})}{2}

1 - \sqrt{5}

y_{1} = 1 - \sqrt{5}

La formule du second degré donne

y_{2}

\frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- (-2) + \sqrt{20}}{2 \cdot 1}

y_{2} = \frac{2 + \sqrt{20}}{2}

ⓘ On cherche le plus grand carré qui divise

20

4

2^{2}

, et on le sort de la racine :

\sqrt{20}

\sqrt{4 \cdot 5}

\sqrt{4} \cdot \sqrt{5}

2 \cdot \sqrt{5}

y_{2} = \frac{2 + 2 \cdot \sqrt{5}}{2}

ⓘ On simplifie une fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par un même nombre :

\frac{2 + 2 \cdot \sqrt{5}}{2}

\frac{2 \cdot (1 + \sqrt{5})}{2}

1 + \sqrt{5}

y_{2} = 1 + \sqrt{5}

▶Solutions trouvées :

y = {1 - \sqrt{5}; 1 + \sqrt{5}}

2) La valeur numérique de :

y = {1 - \sqrt{5}; 1 + \sqrt{5}}

est :

y = {\approx 1 - 2,2361; \approx 1 + 2,2361}

▷

y = {\approx -1,2361; \approx 3,2361}