y^{''}-2y^'+5y=5x+3 — solution étape par étape

1) Résolvons l'équation différentielle

y'' - 2 y' + 5 y = 5 x + 3

, où

y

est une fonction de

x

Pour l'équation homogène, on cherche exp(r*

x

) : l'équation caractéristique est

r^{2} - 2 r + 5 = 0

2) Résolvons dans

ℂ

r^{2} - 2 r + 5 = 0

Étant donné la forme quadratique

a x^{2} + b x + c

, calculons le discriminant :

Δ = b^{2} - 4 a c

Δ = {(-2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 5

Δ = 4 - 4 \cdot 5

Δ = 4 - 20

Δ = -16

Comme

Δ < 0

, l'équation a deux solutions :

Solution 1ère :

\frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}

r1 = \frac{2 - \sqrt{-16}}{2}

r1 = \frac{2 - i \cdot 4}{2}

r1 = 1 - 2 i

Solution deuxième :

\frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a}

r2 = \frac{2 + \sqrt{-16}}{2}

r2 = \frac{2 + i \cdot 4}{2}

r2 = 1 + 2 i

Solution trouvée :

r = 1 - 2 i

Solution obtenue :

r = 1 + 2 i

La solution homogène est

\exp (x) \cdot C1 \cdot \cos (2 x) + \exp (x) \cdot C2 \cdot \sin (2 x)

On cherche une solution particulière A*

x

+ B. Ses dérivées sont A et 0, donc

5 A = 5

- 2 A + 5 B = 3

On obtient A =

1

et B =

1

, donc la solution particulière est

x + 1

La solution générale est la somme des solutions homogène et particulière ;

C1

C2

sont des constantes réelles arbitraires

▶Solution :

y = \exp (x) \cdot C1 \cdot \cos (2 x)

+ \exp (x) \cdot C2 \cdot \sin (2 x)

+ x

+ 1