⚠ ye^{xy}dx+xe^{xy}dy = 0 est lu comme l'équation différentielle y' = (-ye^{xy})/(xe^{xy}) : on divise par dx et on isole y', dérivée de y par rapport à x■ye est lu comme le produit y*e, où e est la constante exponentielle : pour la variable ye, écrivez ye_■xy est lu comme le produit x*y : pour la variable xy, écrivez xy_■xe est lu comme le produit x*e, où e est la constante exponentielle : pour la variable xe, écrivez xe_■solve(y'=(-y*e^{x*y})/(x*e^{x*y}),x) est lu comme solve(y'=(-y*e^(x*y))/(x*e^(x*y)),x) : utilisez ^(...) pour grouper un exposant, utilisez * pour multiplier

1) Résolvons l'équation séparable $\mathrm{y\text{'}}=\frac{-y·e^{xy}}{x{e}^{xy}}$, où $y$ est une fonction de $x$

⇥1.1) Évaluons le domaine de $-\frac{1}{x}$

⇥ Pour que l'expression $-\frac{1}{x}$ existe, on doit vérifier : $x\ne 0$

⇥Solution trouvée : $x\ne 0$

La fonction de $x$ est définie pour $x\ne 0$

Avant de diviser, $y=0$ donne la solution d'équilibre $y=0$

Sur les intervalles où $y\ne 0$, on sépare les variables : $\frac{\mathrm{dy}}{y}=-\frac{\mathrm{dx}}{x}$

⇥1.2) Calculons l'intégrale : $\int \frac{1}{y}dy$

⇥ⓘ La dérivée de $\ln \left|y\right|$ est $\frac{1}{y}$, donc $\ln \left|y\right|$ est une primitive de $\frac{1}{y}$ : $\int \frac{1}{y}dy$ = $\ln \left|y\right|$

⇥ $\ln \left|y\right|$

⇥1.3) Calculons l'intégrale : $\int (-\frac{1}{x})dx$

⇥ⓘ La dérivée de $-\ln \left|x\right|$ est $-\frac{1}{x}$, donc $-\ln \left|x\right|$ est une primitive de $-\frac{1}{x}$ : $\int (-\frac{1}{x})dx$ = $-\ln \left|x\right|$

⇥ $-\ln \left|x\right|$

En intégrant les deux membres, on obtient $\ln \left|y\right|=-\ln \left|x\right|+C$, où $C$ est une constante réelle arbitraire

On prend l'exponentielle : $\left|y\right|=\exp \left(C\right)\exp (-\ln \left|x\right|)$ = $\frac{\exp \left(C\right)}{\left|x\right|}$, d'où $y=\frac{K}{\left|x\right|}$ avec $K$ = ±$\exp \left(C\right)$, une constante réelle non nulle

Sur chaque intervalle où $x\ne 0$, $\frac{1}{\left|x\right|}$ vaut $\frac{1}{x}$ ou son opposé : ce signe passe dans $K$, $y=\frac{K}{x}$

$K=0$ redonne la solution d'équilibre $y=0$ : les solutions sont $y=\frac{K}{x}$, où $K$ est une constante réelle arbitraire

▶Solution :   $y=\frac{K}{x}$