limit x->0 (1-cos(x))/x^2
1) Compute the limit of <math><mfrac><mrow><mn>1</mn><mo> -</mo><mi>cos</mi><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo></mrow><mrow><msup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mrow></mfrac></math> as <m><math><mi>x</mi><mo> → </mo><mn>0</mn></math></m> The limit of <math><mo>-</mo><mi>cos</mi><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo></math> is <m><math><mn>-1</mn></math></m> when <m><math><mi>x</mi><mo> → </mo><mn>0</mn></math></m> The limit of <math><mn>1</mn><mo> -</mo><mi>cos</mi><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo></math> is <m><math><mn>0</mn></math></m> when <m><math><mi>x</mi><mo> → </mo><mn>0</mn></math></m> The limit of <math><msup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></math> is <m><math><mn>0</mn></math>⁺</m> when <m><math><mi>x</mi><mo> → </mo><mn>0</mn></math></m> For <math><mfrac><mrow><mn>1</mn><mo> -</mo><mi>cos</mi><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo></mrow><mrow><msup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mrow></mfrac></math>, we encounter the <u>indeterminate form</u> <m>0/0</m> as <math><mi>x</mi></math> tends to <math><mn>0</mn></math> 2) We look for a Taylor expansion of the expression: <math><mo>-</mo><mi>cos</mi><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo></math> Using Taylor's formula: <math><mi>cos</mi><mo>(</mo><mi>A</mi><mo>)</mo><mo> -</mo><mi>sin</mi><mo>(</mo><mi>A</mi><mo>)</mo><mo>·</mo><mo>(</mo><mi>X</mi><mo> -</mo><mi>A</mi><mo>)</mo><mo> -</mo><mi>cos</mi><mo>(</mo><mi>A</mi><mo>)</mo><mo>·</mo><mfrac><mrow><msup><mrow><mo>(</mo><mi>X</mi><mo> -</mo><mi>A</mi><mo>)</mo></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></mfrac></math> for the function <m>cos</m>, we compute the Taylor expansion for <m>X</m>=<math><mi>x</mi></math> at the point <m>A</m>=<math><mn>0</mn></math> of order <m>N</m>=2 <math><mi>cos</mi><mo>(</mo><mn>0</mn><mo>)</mo><mo> -</mo><mi>sin</mi><mo>(</mo><mn>0</mn><mo>)</mo><mo>·</mo><mo>(</mo><mi>x</mi><mo> + </mo><mn>0</mn><mo>)</mo><mo> -</mo><mi>cos</mi><mo>(</mo><mn>0</mn><mo>)</mo><mo>·</mo><mfrac><mrow><msup><mrow><mo>(</mo><mi>x</mi><mo> + </mo><mn>0</mn><mo>)</mo></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></mfrac></math> <math><mn>1</mn><mo> + </mo><mn>0</mn><mo>·</mo><mi>x</mi><mo> -</mo><mfrac><mrow><msup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></mfrac></math> <math><mn>1</mn><mo> -</mo><mfrac><mrow><msup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></mfrac></math> 3) We redo the calculation using the Taylor expansion: <math><mo>-</mo><mn>1</mn><mo> + </mo><mfrac><mrow><msup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></mfrac></math> <math><mfrac><mrow><mn>1</mn><mo> + </mo><mo>(</mo><mo>-</mo><mn>1</mn><mo> + </mo><mfrac><mrow><msup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></mfrac><mo>)</mo></mrow><mrow><msup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mrow></mfrac></math> <math><mfrac><mrow><mfrac><mrow><msup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></mfrac></mrow><mrow><msup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mrow></mfrac></math> <math><mfrac><mrow><msup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></mfrac><mo>·</mo><mfrac><mrow><mn>1</mn></mrow><mrow><msup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mrow></mfrac></math> <math><mfrac><mrow><mn>1</mn></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></mfrac></math> So the limit of <math><mfrac><mrow><mn>1</mn><mo> -</mo><mi>cos</mi><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo></mrow><mrow><msup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mrow></mfrac></math> is <m><math><mfrac><mrow><mn>1</mn></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></mfrac></math></m> when <m><math><mi>x</mi><mo> → </mo><mn>0</mn></math></m> 4) The numeric value of: <math><mfrac><mrow><mn>1</mn></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></mfrac></math> is: <math><mn>0.5</mn></math> ▷<b>Result: <math><mfrac><mrow><mn>1</mn></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></mfrac></math></b><span style='font-size:smaller'> (processing: 18 steps, 5 ms)</span> ▷▷<i>Numeric value</i>: <math><mn>0.5</mn></math>
