limit x->infinity (1+1/x)^x
1) Compute the limit of <math><msup><mrow><mo>(</mo><mn>1</mn><mo> + </mo><mfrac><mrow><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>x</mi></mrow></mfrac><mo>)</mo></mrow><mrow><mi>x</mi></mrow></msup></math> as <m><math><mi>x</mi><mo> → </mo><mi>+∞</mi></math></m>
The limit of <math><mfrac><mrow><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>x</mi></mrow></mfrac></math> is <m><math><mn>0</mn></math>⁺</m> when <m><math><mi>x</mi><mo> → </mo><mi>+∞</mi></math></m>
The limit of <math><mn>1</mn><mo> + </mo><mfrac><mrow><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>x</mi></mrow></mfrac></math> is <m><math><mn>1</mn></math></m> when <m><math><mi>x</mi><mo> → </mo><mi>+∞</mi></math></m>
<m>1^{±∞}</m> case: rewrite <math><msup><mrow><mo>(</mo><mn>1</mn><mo> + </mo><mfrac><mrow><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>x</mi></mrow></mfrac><mo>)</mo></mrow><mrow><mi>x</mi></mrow></msup></math> as <math><mi>exp</mi><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>·</mo><mi>ln</mi><mo>(</mo><mn>1</mn><mo> + </mo><mfrac><mrow><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>x</mi></mrow></mfrac><mo>)</mo><mo>)</mo></math>, then compute the limit of <m><math><mi>x</mi><mo>·</mo><mi>ln</mi><mo>(</mo><mn>1</mn><mo> + </mo><mfrac><mrow><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>x</mi></mrow></mfrac><mo>)</mo></math></m>
The limit of <math><mfrac><mrow><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>x</mi></mrow></mfrac></math> is <m><math><mn>0</mn></math>⁺</m> when <m><math><mi>x</mi><mo> → </mo><mi>+∞</mi></math></m>
The limit of <math><mn>1</mn><mo> + </mo><mfrac><mrow><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>x</mi></mrow></mfrac></math> is <m><math><mn>1</mn></math></m> when <m><math><mi>x</mi><mo> → </mo><mi>+∞</mi></math></m>
The limit of <math><mi>ln</mi><mo>(</mo><mn>1</mn><mo> + </mo><mfrac><mrow><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>x</mi></mrow></mfrac><mo>)</mo></math> is <m><math><mn>0</mn></math></m> when <m><math><mi>x</mi><mo> → </mo><mi>+∞</mi></math></m>
For <math><mi>x</mi><mo>·</mo><mi>ln</mi><mo>(</mo><mn>1</mn><mo> + </mo><mfrac><mrow><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>x</mi></mrow></mfrac><mo>)</mo></math>, we encounter the <u>indeterminate form</u> <math><mi>+∞</mi><mo>·</mo><mn>0</mn></math> as <math><mi>x</mi></math> tends to <math><mi>+∞</mi></math>
Apply the Taylor development <math><mi>ln</mi><mo>(</mo><mi>A</mi><mo>)</mo><mo> + </mo><munderover><mo>∑</mo><mrow><mi>k</mi><mo> = </mo><mn>1</mn></mrow><mi>N</mi></munderover><msup><mrow><mo>(</mo><mn>-1</mn><mo>)</mo></mrow><mrow><mo>(</mo><mi>k</mi><mo> + </mo><mn>1</mn><mo>)</mo></mrow></msup><mo>·</mo><mfrac><mrow><msup><mrow><mo>(</mo><mi>X</mi><mo> -</mo><mi>A</mi><mo>)</mo></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msup></mrow><mrow><mi>k</mi><mo>·</mo><msup><mrow><mi>A</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msup></mrow></mfrac></math> of <m>ln</m> with <m>X</m>=<math><mn>1</mn><mo> + </mo><mfrac><mrow><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>x</mi></mrow></mfrac></math> around <m>A</m>=<math><mn>1</mn></math> (order <m>N</m>=1)
<math><mi>ln</mi><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>)</mo><mo> + </mo><munderover><mo>∑</mo><mrow><mi>k</mi><mo> = </mo><mn>1</mn></mrow><mn>1</mn></munderover><msup><mrow><mo>(</mo><mn>-1</mn><mo>)</mo></mrow><mrow><mo>(</mo><mi>k</mi><mo> + </mo><mn>1</mn><mo>)</mo></mrow></msup><mo>·</mo><mfrac><mrow><msup><mrow><mo>(</mo><mn>1</mn><mo> + </mo><mfrac><mrow><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>x</mi></mrow></mfrac><mo> -</mo><mn>1</mn><mo>)</mo></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msup></mrow><mrow><mi>k</mi><mo>·</mo><msup><mrow><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msup></mrow></mfrac></math>
<math><mn>0</mn><mo> + </mo><munderover><mo>∑</mo><mrow><mi>k</mi><mo> = </mo><mn>1</mn></mrow><mn>1</mn></munderover><msup><mrow><mo>(</mo><mn>-1</mn><mo>)</mo></mrow><mrow><mo>(</mo><mi>k</mi><mo> + </mo><mn>1</mn><mo>)</mo></mrow></msup><mo>·</mo><mfrac><mrow><msup><mrow><mo>(</mo><mfrac><mrow><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>x</mi></mrow></mfrac><mo>)</mo></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msup></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></mfrac></math>
<math><munderover><mo>∑</mo><mrow><mi>k</mi><mo> = </mo><mn>1</mn></mrow><mn>1</mn></munderover><mfrac><mrow><msup><mrow><mo>(</mo><mn>-1</mn><mo>)</mo></mrow><mrow><mo>(</mo><mi>k</mi><mo> + </mo><mn>1</mn><mo>)</mo></mrow></msup><mo>·</mo><msup><mrow><mo>(</mo><mfrac><mrow><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>x</mi></mrow></mfrac><mo>)</mo></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msup></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></mfrac></math>
<math><mfrac><mrow><msup><mrow><mo>(</mo><mn>-1</mn><mo>)</mo></mrow><mrow><mo>(</mo><mn>1</mn><mo> + </mo><mn>1</mn><mo>)</mo></mrow></msup><mo>·</mo><msup><mrow><mo>(</mo><mfrac><mrow><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>x</mi></mrow></mfrac><mo>)</mo></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msup></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></mfrac></math>
<math><mfrac><mrow><msup><mrow><mo>(</mo><mn>-1</mn><mo>)</mo></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mrow><mrow><mi>x</mi></mrow></mfrac></math>
<math><mfrac><mrow><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>x</mi></mrow></mfrac></math>
2) Let's restart using the Taylor expansion: <math><mi>x</mi><mo>·</mo><mfrac><mrow><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>x</mi></mrow></mfrac></math>
<math><mn>1</mn></math>
The limit of <math><mi>x</mi><mo>·</mo><mi>ln</mi><mo>(</mo><mn>1</mn><mo> + </mo><mfrac><mrow><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>x</mi></mrow></mfrac><mo>)</mo></math> is <m><math><mn>1</mn></math></m> when <m><math><mi>x</mi><mo> → </mo><mi>+∞</mi></math></m>
So the limit of <math><msup><mrow><mo>(</mo><mn>1</mn><mo> + </mo><mfrac><mrow><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>x</mi></mrow></mfrac><mo>)</mo></mrow><mrow><mi>x</mi></mrow></msup></math> is <m><math><mi>exp</mi><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>)</mo></math></m> when <m><math><mi>x</mi><mo> → </mo><mi>+∞</mi></math></m>
3) The approximate value of: <math><mi>e</mi></math> is:
<math><mo>≈ </mo><mn>2.7183</mn></math>
▷<b>Answer: <math><mi>e</mi></math></b><span style='font-size:smaller'> (processing: 21 steps, 7 ms)</span>
▷▷<i>Numeric result</i>: <math><mo>≈ </mo><mn>2.7183</mn></math>
