limite x->0+ x*ln(x)
1) Let's evaluate the limit of <math><mi>x</mi><mo>·</mo><mi>ln</mi><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo></math> when <m><math><mi>x</mi><mo> → </mo><mn>0</mn></math>⁺</m> The limit of <math><mi>ln</mi><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo></math> is <m><math><mi>-∞</mi></math></m> when <m><math><mi>x</mi><mo> → </mo><mn>0</mn></math>⁺</m> For <math><mi>x</mi><mo>·</mo><mi>ln</mi><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo></math>, the limit takes the <u>indeterminate form</u> <math><mn>0</mn><mo>·</mo><mi>-∞</mi></math> when <math><mi>x</mi></math> → <math><mn>0</mn></math> 2) To resolve the indeterminate form <m>0 × ∞</m>, we rewrite the product <math><mi>x</mi><mo>·</mo><mi>ln</mi><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo></math> as the quotient <math><mfrac><mrow><mi>ln</mi><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo></mrow><mrow><mfrac><mrow><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>x</mi></mrow></mfrac></mrow></mfrac></math> The limit of <math><mi>ln</mi><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo></math> is <m><math><mi>-∞</mi></math></m> when <m><math><mi>x</mi><mo> → </mo><mn>0</mn></math>⁺</m> The limit of <math><mfrac><mrow><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>x</mi></mrow></mfrac></math> is <m><math><mi>+∞</mi></math></m> when <m><math><mi>x</mi><mo> → </mo><mn>0</mn></math>⁺</m> For <math><mfrac><mrow><mi>ln</mi><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo></mrow><mrow><mfrac><mrow><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>x</mi></mrow></mfrac></mrow></mfrac></math>, the limit takes the <u>indeterminate form</u> <math><mo>-</mo><mfrac><mrow><mi>+∞</mi></mrow><mrow><mi>+∞</mi></mrow></mfrac></math> when <math><mi>x</mi></math> → <math><mn>0</mn></math> 3) Let's apply L'Hôpital's rule (<m>limit of a/b = limit of a'/b'</m>) by differentiating numerator and denominator: Let's perform the differentiation: <math><mo>(</mo><mi>ln</mi><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo><mo>)'</mo></math> <math><mfrac><mrow><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>x</mi></mrow></mfrac></math> 4) Let's differentiate: <math><mo>(</mo><mfrac><mrow><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>x</mi></mrow></mfrac><mo>)'</mo></math> For <math><mfrac><mrow><mi>u1</mi></mrow><mrow><mi>v2</mi></mrow></mfrac></math> = <math><mfrac><mrow><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>x</mi></mrow></mfrac></math>, use the product/quotient rule: <math><mo>(</mo><mfrac><mrow><mi>u1</mi></mrow><mrow><mi>v2</mi></mrow></mfrac><mo>)'</mo><mo> = </mo><mfrac><mrow><mo>(</mo><mi>u1</mi><mo>)'</mo><mo>·</mo><mi>v2</mi><mo> -</mo><mi>u1</mi><mo>·</mo><mo>(</mo><mi>v2</mi><mo>)'</mo></mrow><mrow><msup><mrow><mi>v2</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mrow></mfrac></math> 5) Let's perform the differentiation <math><mi>u1</mi></math>: <math><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>)'</mo></math> <math><mn>0</mn></math> 6) Let's differentiate <math><mi>v2</mi></math>: <math><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)'</mo></math> <math><mn>1</mn></math> 7) Let's evaluate the resulting derivative (<math><mfrac><mrow><mi>u1</mi></mrow><mrow><mi>v2</mi></mrow></mfrac></math>)': <math><mfrac><mrow><mn>0</mn><mo>·</mo><mi>x</mi><mo> -</mo><mn>1</mn><mo>·</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><msup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mrow></mfrac></math> <math><mo>-</mo><mfrac><mrow><mn>1</mn></mrow><mrow><msup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mrow></mfrac></math> With the derivatives of the numerator and the denominator, we obtain a new fraction whose limit can be determined: <math><mfrac><mrow><mfrac><mrow><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>x</mi></mrow></mfrac></mrow><mrow><mo>-</mo><mfrac><mrow><mn>1</mn></mrow><mrow><msup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mrow></mfrac></mrow></mfrac></math> <math><mo>-</mo><mfrac><mrow><mfrac><mrow><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>x</mi></mrow></mfrac></mrow><mrow><mfrac><mrow><mn>1</mn></mrow><mrow><msup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mrow></mfrac></mrow></mfrac></math> <math><mo>-</mo><mfrac><mrow><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>x</mi></mrow></mfrac><mo>·</mo><msup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></math> <math><mo>-</mo><mi>x</mi></math> The limit of <math><mfrac><mrow><mi>ln</mi><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo></mrow><mrow><mfrac><mrow><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>x</mi></mrow></mfrac></mrow></mfrac></math> is <m><math><mn>0</mn></math>⁻</m> when <m><math><mi>x</mi><mo> → </mo><mn>0</mn></math>⁺</m> So the limit of <math><mi>x</mi><mo>·</mo><mi>ln</mi><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo></math> is <m><math><mn>0</mn></math>⁻</m> when <m><math><mi>x</mi><mo> → </mo><mn>0</mn></math>⁺</m> ▷<b>Result: <math><mn>0</mn></math></b><span style='font-size:smaller'> (processing: 25 steps, 8 ms)</span>
