limite x->infini x/e^x
Let's evaluate the limit of <math><mfrac><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><msup><mrow><mi>e</mi></mrow><mrow><mi>x</mi></mrow></msup></mrow></mfrac></math> when <m><math><mi>x</mi><mo> → </mo><mi>+∞</mi></math></m> The limit of <math><msup><mrow><mi>e</mi></mrow><mrow><mi>x</mi></mrow></msup></math> is <m><math><mi>+∞</mi></math></m> when <m><math><mi>x</mi><mo> → </mo><mi>+∞</mi></math></m> For <math><mfrac><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><msup><mrow><mi>e</mi></mrow><mrow><mi>x</mi></mrow></msup></mrow></mfrac></math>, the limit takes the <u>indeterminate form</u> <math><mfrac><mrow><mi>+∞</mi></mrow><mrow><mi>+∞</mi></mrow></mfrac></math> when <math><mi>x</mi></math> → <math><mi>+∞</mi></math> For <math><mfrac><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><msup><mrow><mi>e</mi></mrow><mrow><mi>x</mi></mrow></msup></mrow></mfrac></math>, we encounter the <u>indeterminate form</u> <math><mfrac><mrow><mi>+∞</mi></mrow><mrow><mi>+∞</mi></mrow></mfrac></math> as <math><mi>x</mi></math> tends to <math><mi>+∞</mi></math> Let's apply L'Hôpital's rule (<m>limit of a/b = limit of a'/b'</m>) by differentiating numerator and denominator: Let's perform the differentiation: <math><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)'</mo></math> <math><mn>1</mn></math> Let's perform the differentiation: <math><mo>(</mo><msup><mrow><mi>e</mi></mrow><mrow><mi>x</mi></mrow></msup><mo>)'</mo></math> <math><msup><mrow><mi>e</mi></mrow><mrow><mi>x</mi></mrow></msup></math> Using those derivatives, we obtain a new fraction whose limit can be computed: The limit of <math><msup><mrow><mi>e</mi></mrow><mrow><mi>x</mi></mrow></msup></math> is <m><math><mi>+∞</mi></math></m> when <m><math><mi>x</mi><mo> → </mo><mi>+∞</mi></math></m> The limit of <math><mfrac><mrow><mn>1</mn></mrow><mrow><msup><mrow><mi>e</mi></mrow><mrow><mi>x</mi></mrow></msup></mrow></mfrac></math> is <m><math><mn>0</mn></math>⁺</m> when <m><math><mi>x</mi><mo> → </mo><mi>+∞</mi></math></m> So the limit of <math><mfrac><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><msup><mrow><mi>e</mi></mrow><mrow><mi>x</mi></mrow></msup></mrow></mfrac></math> is <m><math><mn>0</mn></math>⁺</m> when <m><math><mi>x</mi><mo> → </mo><mi>+∞</mi></math></m> ▷<b>Answer: <math><mn>0</mn></math></b><span style='font-size:smaller'> (computation required 13 steps and 3 ms)</span>
