área 2x^2,2x+6,-1,0 — solução passo a passo

1) A área entre

2 x^{2}

2 x + 6

[-1; 0]

é a integral do valor absoluto da sua diferença

Não há interseções interiores: a diferença mantém o seu sinal no intervalo

[-1; 0]

2 x + 6

está acima de

2 x^{2}

: vamos integrar

- 2 x^{2} + 2 x + 6

⇥1.1) Vamos integrar:

\int_{-1}^{0} (- 2 x^{2} + 2 x + 6) d x

⇥ⅰ

\int (- 2 x^{2} + 2 x + 6) d x

- \int 2 x^{2} d x + \int 2 x d x + \int 6 d x

⇥

- \int 2 x^{2} d x + \int 2 x d x + \int 6 d x

⇥ⓘ Um fator constante mantém-se à frente da integral. Uma primitiva de

x^{n}

\frac{x^{n + 1}}{n + 1}

, para

n

constante e

n \neq -1

- \int 2 x^{2} d x

- 2 \cdot \frac{x^{3}}{3}

\int 2 x d x

2 \cdot \frac{x^{2}}{2}

■A derivada de

6 x

6

, pelo que

6 x

é uma primitiva de

6

\int 6 d x

6 x

⇥

- 2 \cdot \frac{x^{3}}{3} + 2 \cdot \frac{x^{2}}{2} + 6 x

⇥ⓘ Multiplicar uma fração por um número equivale a multiplicar o seu numerador:

2 \cdot \frac{x^{3}}{3}

\frac{2 x^{3}}{3}

2 \cdot \frac{x^{2}}{2}

\frac{2 x^{2}}{2}

■Simplificamos uma fração dividindo o numerador e o denominador pelo mesmo número não nulo:

\frac{2 x^{2}}{2}

x^{2}

▷

- \frac{2 x^{3}}{3} + x^{2} + 6 x

⇥1.2) Vamos avaliar no intervalo

[-1; 0]

(- \frac{2 \cdot 0^{3}}{3} + 0^{2} + 6 \cdot 0) - (- \frac{2 \cdot {(-1)}^{3}}{3} + {(-1)}^{2} + 6 \cdot (-1))

⇥ⓘ Um produto com um fator nulo é nulo:

2 \cdot 0

0

6 \cdot 0

0

■Um sinal de menos antes de um parêntese muda o sinal de cada termo no seu interior:

- (- \frac{2 \cdot {(-1)}^{3}}{3} + {(-1)}^{2} + 6 \cdot (-1))

\frac{2 \cdot {(-1)}^{3}}{3} - {(-1)}^{2} - 6 \cdot (-1)

■Somar 0 não altera o valor:

0 + \frac{2 \cdot {(-1)}^{3}}{3}

\frac{2 \cdot {(-1)}^{3}}{3}

⇥

0

+ 0

+ \frac{2 \cdot {(-1)}^{3}}{3}

- {(-1)}^{2}

- 6 \cdot (-1)

⇥ⓘ Somar 0 não altera o valor:

0 + 0 + \frac{2 \cdot {(-1)}^{3}}{3}

\frac{2 \cdot {(-1)}^{3}}{3}

■As potências calculam-se antes das multiplicações, adições e subtrações. Uma potência de expoente inteiro estritamente positivo é um produto repetido:

{(-1)}^{3}

(-1) \cdot (-1) \cdot (-1)

-1

{(-1)}^{2}

(-1) \cdot (-1)

1

■Multiplicar por -1 dá o oposto:

2 \cdot (-1)

-2

■As multiplicações efetuam-se antes das adições e das subtrações. Dois sinais de menos anulam-se: o produto de dois números negativos é positivo:

-6 \cdot (-1)

6

⇥

- \frac{2}{3} - 1 + 6

⇥ⓘ Para somar frações, reduzimo-las ao mesmo denominador e somamos os numeradores:

- \frac{2}{3} - 1

\frac{- 2 - 1 \cdot 3}{3}

⇥

\frac{- 2 - 1 \cdot 3}{3} + 6

⇥ⓘ As multiplicações efetuam-se antes das adições e das subtrações:

1 \cdot 3

3

⇥

\frac{- 2 - 3}{3} + 6

⇥ⓘ O numerador e o denominador calculam-se antes da divisão:

- 2 - 3

-5

⇥

- \frac{5}{3} + 6

⇥ⓘ Para somar frações, reduzimo-las ao mesmo denominador e somamos os numeradores:

- \frac{5}{3} + 6

\frac{- 5 + 6 \cdot 3}{3}

⇥

\frac{- 5 + 6 \cdot 3}{3}

⇥ⓘ As multiplicações efetuam-se antes das adições e das subtrações:

6 \cdot 3

18

⇥

\frac{- 5 + 18}{3}

⇥ⓘ O numerador e o denominador calculam-se antes da divisão:

- 5 + 18

13

⇥

\frac{13}{3}

A área em

[-1; 0]

vale

\frac{13}{3}

▶Área:

\frac{13}{3}

2) O valor numérico de:

\frac{13}{3}

vale:

▷

\approx 4,3333