área 3x,7x^2 — solução passo a passo

1) Consideremos as duas curvas de equações

y = 3 x

y = 7 x^{2}

Nas interseções,

3 x

7 x^{2}

. Vamos subtrair a segunda expressão à primeira:

3 x - 7 x^{2} = 0

⇥1.1) Vamos resolver em

ℝ

3 x - 7 x^{2} = 0

⇥Podemos fatorizar a expressão

3 x - 7 x^{2}

como

x \cdot (3 - 7 x)

⇥Um produto é nulo se e só se pelo menos um dos seus fatores for nulo: igualamos cada fator a 0 e resolvemos

⇥⇥1.1.1) Vamos resolver em

ℝ

x = 0

⇥⇥Solução encontrada:

x = 0

⇥⇥1.1.2) Vamos resolver em

ℝ

3 - 7 x = 0

⇥⇥

7 x = 3

⇥⇥ⓘ Dividimos ambos os membros por

7

⇥⇥Solução encontrada:

x = \frac{3}{7}

A área entre

3 x

7 x^{2}

[0; \frac{3}{7}]

é a integral do valor absoluto da sua diferença

Não há interseções interiores: a diferença mantém o seu sinal no intervalo

[0; \frac{3}{7}]

3 x

está acima de

7 x^{2}

: vamos integrar

3 x - 7 x^{2}

⇥1.2) Vamos calcular a integral:

\int_{0}^{\frac{3}{7}} (3 x - 7 x^{2}) d x

⇥ⅰ

\int (3 x - 7 x^{2}) d x

\int 3 x d x - \int 7 x^{2} d x

⇥

\int 3 x d x - \int 7 x^{2} d x

⇥ⓘ Um fator constante mantém-se à frente da integral. Uma primitiva de

x^{n}

\frac{x^{n + 1}}{n + 1}

, para

n

constante e

n \neq -1

\int 3 x d x

3 \cdot \frac{x^{2}}{2}

- \int 7 x^{2} d x

- 7 \cdot \frac{x^{3}}{3}

⇥

3 \cdot \frac{x^{2}}{2} - 7 \cdot \frac{x^{3}}{3}

⇥ⓘ Multiplicar uma fração por um número equivale a multiplicar o seu numerador:

3 \cdot \frac{x^{2}}{2}

\frac{3 x^{2}}{2}

7 \cdot \frac{x^{3}}{3}

\frac{7 x^{3}}{3}

▷

\frac{3 x^{2}}{2} - \frac{7 x^{3}}{3}

⇥1.3) Vamos avaliar no intervalo

[0; \frac{3}{7}]

(\frac{3 \cdot {(\frac{3}{7})}^{2}}{2} - \frac{7 \cdot {(\frac{3}{7})}^{3}}{3}) - (\frac{3 \cdot 0^{2}}{2} - \frac{7 \cdot 0^{3}}{3})

⇥ⓘ Um sinal de menos antes de um parêntese muda o sinal de cada termo no seu interior:

- (\frac{3 \cdot 0^{2}}{2} - \frac{7 \cdot 0^{3}}{3})

- \frac{3 \cdot 0^{2}}{2} + \frac{7 \cdot 0^{3}}{3}

⇥

\frac{3 \cdot {(\frac{3}{7})}^{2}}{2}

- \frac{7 \cdot {(\frac{3}{7})}^{3}}{3}

- \frac{3 \cdot 0^{2}}{2}

+ \frac{7 \cdot 0^{3}}{3}

⇥ⓘ Um produto com um fator nulo é nulo:

3 \cdot 0

0

7 \cdot 0

0

⇥

\frac{3 \cdot {(\frac{3}{7})}^{2}}{2}

- \frac{7 \cdot {(\frac{3}{7})}^{3}}{3}

+ 0

+ 0

⇥ⓘ Somar 0 não altera o valor:

- \frac{7 \cdot {(\frac{3}{7})}^{3}}{3} + 0 + 0

- \frac{7 \cdot {(\frac{3}{7})}^{3}}{3}

⇥

\frac{3 \cdot {(\frac{3}{7})}^{2}}{2} - \frac{7 \cdot {(\frac{3}{7})}^{3}}{3}

⇥ⓘ A potência de um quociente é o quociente das potências,

{(\frac{a}{b})}^{n} = \frac{a^{n}}{b^{n}}

{(\frac{3}{7})}^{2}

\frac{3^{2}}{7^{2}}

{(\frac{3}{7})}^{3}

\frac{3^{3}}{7^{3}}

⇥

\frac{3 \cdot \frac{3^{2}}{7^{2}}}{2} - \frac{7 \cdot \frac{3^{3}}{7^{3}}}{3}

⇥ⓘ As potências calculam-se antes das multiplicações, adições e subtrações. Uma potência de expoente inteiro estritamente positivo é um produto repetido:

3^{2}

3 \cdot 3

9

7^{2}

7 \cdot 7

49

3^{3}

3 \cdot 3 \cdot 3

27

7^{3}

7 \cdot 7 \cdot 7

343

⇥

\frac{3 \cdot \frac{9}{49}}{2} - \frac{7 \cdot \frac{27}{343}}{3}

⇥ⓘ Multiplicar uma fração por um número equivale a multiplicar o seu numerador:

3 \cdot \frac{9}{49}

\frac{3 \cdot 9}{49}

\frac{27}{49}

7 \cdot \frac{27}{343}

\frac{7 \cdot 27}{343}

\frac{189}{343}

⇥

\frac{\frac{27}{49}}{2} - \frac{\frac{189}{343}}{3}

⇥ⓘ Dividir uma fração por

2

equivale a multiplicar o seu denominador por

2

\frac{\frac{27}{49}}{2}

\frac{27}{49 \cdot 2}

■Dividir uma fração por

3

equivale a multiplicar o seu denominador por

3

- \frac{\frac{189}{343}}{3}

- \frac{189}{343 \cdot 3}

■Simplificamos uma fração dividindo o numerador e o denominador pelo mesmo número não nulo:

- \frac{189}{343 \cdot 3}

- \frac{27}{49 \cdot 3}

⇥

\frac{27}{49 \cdot 2} - \frac{27}{49 \cdot 3}

⇥ⅰ

49 \cdot 2

(40 + 9) \cdot 2

40 \cdot 2 + 9 \cdot 2

80 + 18

98

■

49 \cdot 3

(40 + 9) \cdot 3

40 \cdot 3 + 9 \cdot 3

120 + 27

147

⇥

\frac{27}{98} - \frac{27}{147}

⇥ⓘ Para somar frações, reduzimo-las ao mesmo denominador e somamos os numeradores. Escolhemos

294

, o mínimo múltiplo comum de

98

147

. Multiplicar o numerador e o denominador pelo mesmo número não altera a fração:

\frac{27}{98} - \frac{27}{147}

\frac{27 \cdot 3}{98 \cdot 3} + \frac{-27 \cdot 2}{147 \cdot 2}

\frac{27 \cdot 3 - 27 \cdot 2}{98 \cdot 3}

⇥

\frac{27 \cdot 3 - 27 \cdot 2}{98 \cdot 3}

⇥ⓘ As multiplicações efetuam-se antes das adições e das subtrações:

27 \cdot 3

(20 + 7) \cdot 3

20 \cdot 3 + 7 \cdot 3

60 + 21

81

27 \cdot 2

(20 + 7) \cdot 2

20 \cdot 2 + 7 \cdot 2

40 + 14

54

⇥ⅰ

98 \cdot 3

(90 + 8) \cdot 3

90 \cdot 3 + 8 \cdot 3

270 + 24

294

⇥

\frac{81 - 54}{294}

⇥ⓘ O numerador e o denominador calculam-se antes da divisão:

81 - 54

27

⇥

\frac{27}{294}

⇥ⓘ Simplificamos a fração dividindo o numerador e o denominador por

3

, o seu máximo divisor comum:

\frac{27}{294}

\frac{9 \cdot 3}{98 \cdot 3}

\frac{9}{98}

⇥

\frac{9}{98}

A área em

[0; \frac{3}{7}]

vale

\frac{9}{98}

▶Área:

\frac{9}{98}

2) O valor numérico de:

\frac{9}{98}

é:

▷

\approx 9,1837 \times 10^{- 2}