área 6ln(x),xln(x) — solução passo a passo

⚠ (6ln(x),xln(x)) é interpretado como (6*ln(x),x*ln(x)): utilize * para uma multiplicação, utilize ^ para uma potência

1) Consideremos as duas curvas de equações

y = 6 \cdot \ln (x)

y = x \cdot \ln (x)

Nas interseções,

6 \cdot \ln (x)

x \cdot \ln (x)

. Vamos subtrair a segunda expressão à primeira:

6 \cdot \ln (x) - x \cdot \ln (x) = 0

⇥1.1) Vamos resolver em

ℝ

6 \cdot \ln (x) - x \cdot \ln (x) = 0

⇥Podemos fatorizar a expressão

6 \cdot \ln (x) - x \cdot \ln (x)

como

\ln (x) \cdot (6 - x)

⇥Um produto é nulo se e só se pelo menos um dos seus fatores for nulo: igualamos cada fator a 0 e resolvemos

⇥⇥1.1.1) Vamos resolver em

ℝ

\ln (x) = 0

⇥⇥Podemos aplicar a função exp a ambos os membros:

⇥⇥

e^{\ln (x)} = e^{0}

⇥⇥ⓘ Para

x

real,

\ln (\exp (x)) = x

; quando

\ln (x)

está definido,

\exp (\ln (x)) = x

e^{\ln (x)}

x

■Qualquer número não nulo elevado a 0 vale 1:

e^{0}

1

⇥⇥Candidatos, sujeitos ao domínio:

x = 1

⇥⇥1.1.2) Vamos resolver em

ℝ

6 - x = 0

⇥⇥Candidatos, sujeitos ao domínio:

x = 6

⇥ Para que a expressão

\ln (x)

esteja definida, é necessário:

x > 0

⇥Restrições do domínio:

x > 0

A área entre

6 \cdot \ln (x)

x \cdot \ln (x)

[1; 6]

é a integral do valor absoluto da sua diferença

Não há interseções interiores: a diferença mantém o seu sinal no intervalo

[1; 6]

6 \cdot \ln (x)

está acima de

x \cdot \ln (x)

: vamos integrar

6 \cdot \ln (x) - x \cdot \ln (x)

⇥1.2) Vamos calcular a integral:

\int_{1}^{6} (6 \cdot \ln (x) - x \cdot \ln (x)) d x

⇥ⅰ

\int (6 \cdot \ln (x) - x \cdot \ln (x)) d x

\int 6 \cdot \ln (x) d x - \int x \cdot \ln (x) d x

⇥

\int 6 \cdot \ln (x) d x - \int x \cdot \ln (x) d x

⇥⇥Retiramos o fator constante

6

da integral. Para

6 \cdot \ln (x)

, utilizamos a integração por partes:

\int 6 \cdot u1 \cdot v2' d x = 6 \cdot (u1 \cdot v2 - \int u1' \cdot v2 d x)

com u1 =

\ln (x)

e v2' =

1

⇥⇥1.2.1) Vamos derivar u1:

\frac{d}{d x} (\ln (x))

⇥⇥ⓘ A derivada de

\ln (x)

\frac{1}{x}

\frac{d}{d x} (\ln (x))

\frac{1}{x}

⇥⇥

\frac{1}{x}

⇥⇥1.2.2) Vamos calcular a integral v2':

\int 1 d x

⇥⇥ⓘ A derivada de

x

1

, pelo que

x

é uma primitiva de

1

\int 1 d x

x

⇥⇥

x

⇥⇥1.2.3) Vamos calcular

u1' \cdot v2

\frac{1}{x} \cdot x

⇥⇥ⓘ Multiplicar uma fração por um termo equivale a multiplicar o seu numerador:

\frac{1}{x} \cdot x

\frac{1 \cdot x}{x}

\frac{x}{x}

■O denominador inicial deve continuar a ser não nulo. Simplificamos a fração dividindo o numerador e o denominador pelo seu fator comum

x

\frac{x}{x}

1

⇥⇥

1

⇥⇥1.2.4) Vamos calcular

6 \cdot (u1 \cdot v2 - \int u1' \cdot v2 d x)

6 \cdot (\ln (x) \cdot x - \int 1 d x)

⇥⇥ⓘ Desenvolvemos pela propriedade distributiva, multiplicando cada termo da soma pelo outro fator:

6 \cdot (\ln (x) \cdot x - \int 1 d x)

6 \cdot \ln (x) \cdot x + 6 \cdot (- \int 1 d x)

■A derivada de

- x

-1

, pelo que

- x

é uma primitiva de

-1

- \int 1 d x

- x

⇥⇥

6 \cdot \ln (x) \cdot x + 6 \cdot (- x)

⇥⇥ⓘ Colocamos o sinal de menos à frente do produto:

6 \cdot (- x)

- 6 x

⇥⇥

6 \cdot \ln (x) \cdot x - 6 x

⇥Depois continuamos a integração:

⇥⇥Para

x \cdot \ln (x)

, utilizamos a integração por partes:

\int u1 \cdot v2' d x = u1 \cdot v2 - \int u1' \cdot v2 d x

com u1 =

\ln (x)

e v2' =

x

⇥⇥1.2.5) Vamos derivar u1:

\frac{d}{d x} (\ln (x))

⇥⇥ⓘ A derivada de

\ln (x)

\frac{1}{x}

\frac{d}{d x} (\ln (x))

\frac{1}{x}

⇥⇥

\frac{1}{x}

⇥⇥1.2.6) Vamos integrar v2':

\int x d x

⇥⇥ⓘ Uma primitiva de

x^{n}

\frac{x^{n + 1}}{n + 1}

, para

n

constante e

n \neq -1

\int x d x

\frac{x^{2}}{2}

⇥⇥

\frac{x^{2}}{2}

⇥⇥1.2.7) Vamos calcular

u1' \cdot v2

\frac{1}{x} \cdot \frac{x^{2}}{2}

⇥⇥ⓘ Para multiplicar frações, multiplicamos os numeradores entre si e os denominadores entre si:

\frac{1}{x} \cdot \frac{x^{2}}{2}

\frac{1 \cdot x^{2}}{x \cdot 2}

\frac{x^{2}}{x \cdot 2}

■O denominador inicial deve continuar a ser não nulo. Simplificamos a fração dividindo o numerador e o denominador pelo seu fator comum:

\frac{x^{2}}{x \cdot 2}

\frac{x}{2}

⇥⇥

\frac{x}{2}

⇥⇥1.2.8) Vamos calcular

u1 \cdot v2 - \int u1' \cdot v2 d x

\ln (x) \cdot \frac{x^{2}}{2} - \int \frac{x}{2} d x

⇥⇥ⓘ Multiplicar uma fração por um termo equivale a multiplicar o seu numerador:

\ln (x) \cdot \frac{x^{2}}{2}

\frac{\ln (x) \cdot x^{2}}{2}

■Um fator constante mantém-se à frente da integral. Uma primitiva de

x^{n}

\frac{x^{n + 1}}{n + 1}

, para

n

constante e

n \neq -1

- \int \frac{x}{2} d x

- \frac{1}{2} \cdot \frac{x^{2}}{2}

⇥⇥

\frac{\ln (x) \cdot x^{2}}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{x^{2}}{2}

⇥⇥ⓘ Para multiplicar frações, multiplicamos os numeradores entre si e os denominadores entre si:

\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{2}}{2}

\frac{1 \cdot x^{2}}{2 \cdot 2}

\frac{x^{2}}{4}

⇥⇥

\frac{\ln (x) \cdot x^{2}}{2} - \frac{x^{2}}{4}

⇥⇥ⓘ Para somar frações, reduzimo-las ao mesmo denominador e somamos os numeradores:

\frac{\ln (x) \cdot x^{2}}{2} - \frac{x^{2}}{4}

\frac{2 \cdot \ln (x) \cdot x^{2} - x^{2}}{4}

⇥⇥

\frac{2 \cdot \ln (x) \cdot x^{2} - x^{2}}{4}

⇥⇥ⓘ Colocamos em evidência o fator comum dos termos para poder simplificar a fração:

\frac{2 \cdot \ln (x) \cdot x^{2} - x^{2}}{4}

\frac{x^{2} \cdot (2 \cdot \ln (x) - 1)}{4}

⇥⇥

\frac{x^{2} \cdot (2 \cdot \ln (x) - 1)}{4}

⇥Finalmente terminamos a integração:

⇥ⅰ

- \int x \cdot \ln (x) d x

- \frac{x^{2} \cdot (2 \cdot \ln (x) - 1)}{4}

⇥

(6 \cdot \ln (x) \cdot x - 6 x) - \frac{x^{2} \cdot (2 \cdot \ln (x) - 1)}{4}

▷

6 \cdot \ln (x) \cdot x - 6 x - \frac{x^{2} \cdot (2 \cdot \ln (x) - 1)}{4}

⇥1.3) Vamos avaliar no intervalo

[1; 6]

(- \frac{6^{2} \cdot (2 \cdot \ln (6) - 1)}{4} + 6 \cdot 6 \cdot \ln (6) - 6 \cdot 6) - (- \frac{1^{2} \cdot (2 \cdot \ln (1) - 1)}{4} + 6 \cdot 1 \cdot \ln (1) - 6 \cdot 1)

⇥ⓘ As potências calculam-se antes das multiplicações, adições e subtrações. Uma potência de expoente inteiro estritamente positivo é um produto repetido:

6^{2}

6 \cdot 6

36

■As multiplicações efetuam-se antes das adições e das subtrações:

6 \cdot 6

36

■Um sinal de menos antes de um parêntese muda o sinal de cada termo no seu interior:

- (- \frac{1^{2} \cdot (2 \cdot \ln (1) - 1)}{4} + 6 \cdot 1 \cdot \ln (1) - 6 \cdot 1)

\frac{1^{2} \cdot (2 \cdot \ln (1) - 1)}{4} - 6 \cdot 1 \cdot \ln (1) + 6 \cdot 1

⇥

- \frac{36 \cdot (2 \cdot \ln (6) - 1)}{4}

+ 36 \cdot \ln (6)

- 36

+ \frac{1^{2} \cdot (2 \cdot \ln (1) - 1)}{4}

- 6 \cdot 1 \cdot \ln (1)

+ 6 \cdot 1

⇥ⓘ Simplificamos uma fração dividindo o numerador e o denominador pelo mesmo número não nulo:

- \frac{36 \cdot (2 \cdot \ln (6) - 1)}{4}

- 9 \cdot (2 \cdot \ln (6) - 1)

⇥

- 9 \cdot (2 \cdot \ln (6) - 1)

+ 36 \cdot \ln (6)

- 36

+ \frac{2 \cdot \ln (1) - 1}{4}

- 6 \cdot \ln (1)

+ 6

⇥ⓘ Partimos de

-36

e avançamos

6

na reta numérica, aproximando-nos do zero:

- 36 + 6

-30

⇥ⅰ

\frac{2 \cdot \ln (1) - 1}{4} - 6 \cdot \ln (1)

\frac{(2 \cdot \ln (1) - 1) + 4 \cdot (- 6 \cdot \ln (1))}{4}

⇥

- 9 \cdot (2 \cdot \ln (6) - 1)

+ 36 \cdot \ln (6)

- 30

+ \frac{(2 \cdot \ln (1) - 1) + 4 \cdot (- 6 \cdot \ln (1))}{4}

⇥ⓘ

\ln (1) = 0

, pois

\exp (0) = 1

\ln (1)

0

■As multiplicações efetuam-se antes das adições e das subtrações. Um único sinal de menos não se anula: o produto de um número negativo por um positivo é negativo:

4 \cdot (-6)

-24

⇥

- 9 \cdot (2 \cdot \ln (6) - 1)

+ 36 \cdot \ln (6)

- 30

+ \frac{2 \cdot 0 - 1 - 24 \cdot 0}{4}

⇥ⓘ Um produto com um fator nulo é nulo:

2 \cdot 0

0

-24 \cdot 0

0

⇥

- 9 \cdot (2 \cdot \ln (6) - 1)

+ 36 \cdot \ln (6)

- 30

+ \frac{0 - 1 + 0}{4}

⇥ⓘ Somar 0 não altera o valor:

0 - 1 + 0

-1

■Para somar frações, reduzimo-las ao mesmo denominador e somamos os numeradores:

- 30 - \frac{1}{4}

\frac{4 \cdot (-30) - 1}{4}

⇥

- 9 \cdot (2 \cdot \ln (6) - 1) + 36 \cdot \ln (6) + \frac{4 \cdot (-30) - 1}{4}

⇥ⓘ As multiplicações efetuam-se antes das adições e das subtrações. Um único sinal de menos não se anula: o produto de um número negativo por um positivo é negativo:

4 \cdot (-30)

-120

⇥

- 9 \cdot (2 \cdot \ln (6) - 1) + 36 \cdot \ln (6) + \frac{- 120 - 1}{4}

⇥ⓘ O numerador e o denominador calculam-se antes da divisão:

- 120 - 1

-121

⇥

- 9 \cdot (2 \cdot \ln (6) - 1) + 36 \cdot \ln (6) - \frac{121}{4}

⇥ⓘ Desenvolvemos pela propriedade distributiva, multiplicando cada termo da soma pelo outro fator:

- 9 \cdot (2 \cdot \ln (6) - 1)

- (18 \cdot \ln (6) - 9)

⇥

- (18 \cdot \ln (6) - 9) + 36 \cdot \ln (6) - \frac{121}{4}

⇥ⓘ Um sinal de menos antes de um parêntese muda o sinal de cada termo no seu interior:

- (18 \cdot \ln (6) - 9)

- 18 \cdot \ln (6) + 9

⇥

- 18 \cdot \ln (6)

+ 9

+ 36 \cdot \ln (6)

- \frac{121}{4}

⇥ⓘ Para somar frações, reduzimo-las ao mesmo denominador e somamos os numeradores:

9 - \frac{121}{4}

\frac{4 \cdot 9 - 121}{4}

■Agrupamos os termos semelhantes somando os seus coeficientes:

- 18 \cdot \ln (6) + 36 \cdot \ln (6)

18 \cdot \ln (6)

⇥

18 \cdot \ln (6) + \frac{4 \cdot 9 - 121}{4}

⇥ⓘ As multiplicações efetuam-se antes das adições e das subtrações:

4 \cdot 9

36

⇥

18 \cdot \ln (6) + \frac{36 - 121}{4}

⇥ⓘ O numerador e o denominador calculam-se antes da divisão:

36 - 121

-85

⇥

18 \cdot \ln (6) - \frac{85}{4}

A área em

[1; 6]

vale

18 \cdot \ln (6) - \frac{85}{4}

▶Área:

18 \cdot \ln (6) - \frac{85}{4}

2) O valor numérico de:

18 \cdot \ln (6) - \frac{85}{4}

vale:

18 \cdot \approx 1,7918 - 21,25

\approx 32,2517 - 21,25

▷

\approx 11,0017