área entre x^2 e x — solução passo a passo

1) Consideremos as duas curvas de equações

y = x^{2}

y = x

Nas interseções,

x^{2}

x

. Vamos subtrair a segunda expressão à primeira:

x^{2} - x = 0

⇥1.1) Vamos resolver em

ℝ

x^{2} - x = 0

⇥Podemos fatorizar a expressão

x^{2} - x

como

x \cdot (x - 1)

⇥Um produto é nulo se e só se pelo menos um dos seus fatores for nulo: igualamos cada fator a 0 e resolvemos

⇥⇥1.1.1) Vamos resolver em

ℝ

x = 0

⇥⇥Solução obtida:

x = 0

⇥⇥1.1.2) Vamos resolver em

ℝ

x - 1 = 0

⇥⇥Solução obtida:

x = 1

A área entre

x^{2}

x

[0; 1]

é a integral do valor absoluto da sua diferença

Não há interseções interiores: a diferença mantém o seu sinal no intervalo

[0; 1]

x

está acima de

x^{2}

: vamos integrar

- x^{2} + x

⇥1.2) Vamos integrar:

\int_{0}^{1} (- x^{2} + x) d x

⇥ⅰ

\int (- x^{2} + x) d x

- \int x^{2} d x + \int x d x

⇥

- \int x^{2} d x + \int x d x

⇥ⓘ Uma primitiva de

x^{n}

\frac{x^{n + 1}}{n + 1}

, para

n

constante e

n \neq -1

- \int x^{2} d x

- \frac{x^{3}}{3}

\int x d x

\frac{x^{2}}{2}

▷

- \frac{x^{3}}{3} + \frac{x^{2}}{2}

⇥1.3) Vamos avaliar no intervalo

[0; 1]

(\frac{1^{2}}{2} - \frac{1^{3}}{3}) - (\frac{0^{2}}{2} - \frac{0^{3}}{3})

⇥ⓘ Para somar frações, reduzimo-las ao mesmo denominador e somamos os numeradores. Escolhemos

6

, o mínimo múltiplo comum de

2

3

. Multiplicar o numerador e o denominador pelo mesmo número não altera a fração:

\frac{1}{2} - \frac{1}{3}

\frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 3} + \frac{-1 \cdot 2}{3 \cdot 2}

\frac{1 \cdot 3 - 1 \cdot 2}{2 \cdot 3}

\frac{3 - 1 \cdot 2}{2 \cdot 3}

■Um sinal de menos antes de um parêntese muda o sinal de cada termo no seu interior:

- (\frac{0^{2}}{2} - \frac{0^{3}}{3})

- \frac{0^{2}}{2} + \frac{0^{3}}{3}

⇥

\frac{3 - 1 \cdot 2}{2 \cdot 3} - \frac{0^{2}}{2} + \frac{0^{3}}{3}

⇥ⓘ As multiplicações efetuam-se antes das adições e das subtrações:

1 \cdot 2

2

⇥ⅰ

2 \cdot 3

6

⇥

\frac{3 - 2}{6} + 0 + 0

⇥ⓘ Somar 0 não altera o valor:

\frac{3 - 2}{6} + 0 + 0

\frac{3 - 2}{6}

■O numerador e o denominador calculam-se antes da divisão:

3 - 2

1

⇥

\frac{1}{6}

A área em

[0; 1]

vale

\frac{1}{6}

▶Área:

\frac{1}{6}

2) O valor numérico de:

\frac{1}{6}

é:

▷

\approx 0,1667