área x=y^2-4y,x=2y-y^2 — solução passo a passo

1) Consideremos as duas curvas de equações

x = y^{2} - 4 y

x = 2 y - y^{2}

Nas interseções,

y^{2} - 4 y

2 y - y^{2}

. Vamos subtrair a segunda expressão à primeira:

(y^{2} - 4 y) - (2 y - y^{2})

= 0, ou seja,

2 y^{2} - 6 y = 0

⇥1.1) Vamos resolver em

ℝ

2 y^{2} - 6 y = 0

⇥Podemos fatorizar a expressão

2 y^{2} - 6 y

como

y \cdot (2 y - 6)

⇥Um produto é nulo se e só se pelo menos um dos seus fatores for nulo: igualamos cada fator a 0 e resolvemos

⇥⇥1.1.1) Vamos resolver em

ℝ

y = 0

⇥⇥Solução obtida:

y = 0

⇥⇥1.1.2) Vamos resolver em

ℝ

2 y - 6 = 0

⇥⇥

2 y = 6

⇥⇥ⓘ Dividimos ambos os membros por

2

⇥⇥

y = \frac{6}{2}

⇥⇥ⓘ Simplificamos a fração dividindo o numerador e o denominador por

2

, o seu máximo divisor comum:

\frac{6}{2}

3

⇥⇥Solução encontrada:

y = 3

A área entre

y^{2} - 4 y

2 y - y^{2}

[0; 3]

é a integral do valor absoluto da sua diferença

Não há interseções interiores: a diferença mantém o seu sinal no intervalo

[0; 3]

2 y - y^{2}

está à direita de

y^{2} - 4 y

: vamos integrar

- 2 y^{2} + 6 y

em relação a

y

⇥1.2) Vamos calcular a integral:

\int_{0}^{3} (- 2 y^{2} + 6 y) d y

⇥ⅰ

\int (- 2 y^{2} + 6 y) d y

- \int 2 y^{2} d y + \int 6 y d y

⇥

- \int 2 y^{2} d y + \int 6 y d y

⇥ⓘ Um fator constante mantém-se à frente da integral. Uma primitiva de

y^{n}

\frac{y^{n + 1}}{n + 1}

, para

n

constante e

n \neq -1

- \int 2 y^{2} d y

- 2 \cdot \frac{y^{3}}{3}

\int 6 y d y

6 \cdot \frac{y^{2}}{2}

⇥

- 2 \cdot \frac{y^{3}}{3} + 6 \cdot \frac{y^{2}}{2}

⇥ⓘ Multiplicar uma fração por um número equivale a multiplicar o seu numerador:

2 \cdot \frac{y^{3}}{3}

\frac{2 y^{3}}{3}

6 \cdot \frac{y^{2}}{2}

\frac{6 y^{2}}{2}

■Simplificamos uma fração dividindo o numerador e o denominador pelo mesmo número não nulo:

\frac{6 y^{2}}{2}

3 y^{2}

▷

- \frac{2 y^{3}}{3} + 3 y^{2}

⇥1.3) Vamos avaliar no intervalo

[0; 3]

(3 \cdot 3^{2} - \frac{2 \cdot 3^{3}}{3}) - (3 \cdot 0^{2} - \frac{2 \cdot 0^{3}}{3})

⇥ⓘ As potências calculam-se antes das multiplicações, adições e subtrações. Uma potência de expoente inteiro estritamente positivo é um produto repetido:

3^{2}

3 \cdot 3

9

3^{3}

3 \cdot 3 \cdot 3

27

■Um sinal de menos antes de um parêntese muda o sinal de cada termo no seu interior:

- (3 \cdot 0^{2} - \frac{2 \cdot 0^{3}}{3})

- 3 \cdot 0^{2} + \frac{2 \cdot 0^{3}}{3}

⇥

3 \cdot 9

- \frac{2 \cdot 27}{3}

- 3 \cdot 0^{2}

+ \frac{2 \cdot 0^{3}}{3}

⇥ⓘ As multiplicações efetuam-se antes das adições e das subtrações:

3 \cdot 9

27

■Um produto com um fator nulo é nulo:

-3 \cdot 0

0

2 \cdot 0

0

⇥ⅰ

2 \cdot 27

2 \cdot (20 + 7)

2 \cdot 20 + 2 \cdot 7

40 + 14

54

⇥

27

- \frac{54}{3}

+ 0

+ 0

⇥ⓘ Somar 0 não altera o valor:

- \frac{54}{3} + 0 + 0

- \frac{54}{3}

■Simplificamos a fração dividindo o numerador e o denominador por

3

, o seu máximo divisor comum:

- \frac{54}{3}

-18

⇥

27 - 18

⇥ⓘ Partimos de

27

e recuamos

18

na reta numérica:

27 - 18

9

⇥

9

A área em

[0; 3]

vale

9

▶Área:

9